江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考数学试题（解析版）

这是一份江苏省高邮市2024-2025学年高三下学期第一次联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的描述，应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由.
故选：D
2. 已知复数z与复平面内的点对应，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数对应点写出复数，再应用复数的除法运算化简，即可得答案.
【详解】由题设，则.
故选：C
3. 已知、，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为、，且，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
4. 在二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】二项式的展开式通项为，
令，解得，所以，展开式中含项的系数为.
故选：D.
5. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】设与的夹角为，
则，
得，
，.
故选：B.
6. 已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】问题化为且上恰好存在三个不同根，结合余弦函数的性质列不等式求，进而确定最小正周期的范围，即可得答案.
【详解】由题设且上恰好存在三个不同的根，
结合余弦函数的图象及性质知，，可得，
所以最小正周期为.
故选：A
7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解.
【详解】如图，延长交的延长线于点，
由于是的角平分线上的一点，且,
所以点为的点，所以,
又为的中点，所以，
故，
故，即，将点代入可得，解得，
故离心率为，
故选：C.
8. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知不等式变形为，构造函数，其中，分析函数的单调性，可得出，进而可得，由参变量分离法得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，，，由，
可得，可得，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，可得，
令，其中，则，
当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ）
A. B. 事件A与事件B独立事件
C. D. 事件B与事件C为互斥事件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D.
【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确；
对于B：因为，，，
所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确；
对于C：因为，故C错误；
对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误，
故选:AB
10. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等差数列
B. 数列为等比数列
C.
D. 若，则数列的前项和
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用分组求和法可判断C选项；利用错位相减法结合分组求和法可判断D选项.
【详解】因为数列的前项和为，且满足，，，
对于A选项，由已知等式变形可得，且，
所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列，
故，A错；
对于B选项，由已知等式变形得，且，
所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对；
对于C选项，由可得，
所以，
，C对；
对于D选项，，
记，
则，
这两个等式作差得
，
所以，，
故
，D对.
故选：BCD.
11. 如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为靠近D的三等分点时，异面直线与所成角的余弦值为
B. 存在点G，使得平面CEF
C. 点B到平面CEF的距离是
D. 过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，根据向量法逐个证明计算即可.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
且，，分别是棱，的中点，
则各点坐标为：，，，.
设，.
对于选项A，当为靠近的三等分点时，，即.则，.
设异面直线与所成角为，.
..
所以，选项A正确.
对于选项B，，，设平面的法向量为.
则，即，令，则，，所以.
，若平面，则与平行，但，则不存在点，使得平面，选项B错误.
对于选项C，由上述已得平面的法向量，.
根据点到平面的距离公式.
..
所以，选项C正确.
对于选项D，长方体的体对角线长为，则长方体外接球的半径，球心为长方体体对角线的中点，坐标为.
，.
当截面（为截面圆心）时，截面面积最小，此时为球心到直线的距离.
设方向上的单位向量为.
则，，，.
所以截面半径.
截面面积，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式展开之后，对等式两边平方，结合二倍角公式求解.
【详解】由题意，，即，
两边平方结合二倍角公式可得，即.
故答案为：
13. 点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】令且，进而求坐标，即可得，应用两点距离公式及基本不等式求的最小值.
【详解】令且，则，又抛物线的准线为，
所以，故，即，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
14. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为________________.
【答案】5
【解析】
【分析】由题可得有对称轴为轴，对称中心，然后在同一坐标系中画出与图象，即可得答案.
【详解】函数的图象是中心对称图形，对称中心为.
定义在上的偶函数满足，
则函数有对称轴为轴，对称中心；
又当时，，
当时，，解得，由题意可得，而.
所以，两函数图象无交点，
在同一坐标系在内作出与的图象，
当，，
令，
则，且，
所以存在，使得当时，，单调递增，
所以当时，，即，
结合图象可得，与图象有5个交点，
又均是与的图象的对称中心，
则两函数所有交点横坐标之和为5.
故答案为：5.
【点睛】方法点睛：根据函数关系，做出两函数的图象，结合对称性求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角、、所对的边为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若为边的中点，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值；
（2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果.
【小问1详解】
由余弦定理可得，因为，故.
【小问2详解】
在中，因为为边的中点，所以
故，即，
所以，，即
解得或（舍），
所以.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知可得、，应用线面垂直的判定和性质证得，再由，及线面垂直的判定证明结论；
（2）根据已知构建空间直角坐标系，再应用向量法求二面角的余弦值，进而求正切值.
【小问1详解】
在菱形中，，则正三角形，
又为线段的中点，则，即，
由平面平面，则，
又平面，
则平面，又平面，则，
由为线段的中点，则，
又平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）及线面垂直的性质知，，
且，易知，则，
如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，得，
设为平面的法向量，由，
令，则，即，
易知为平面的法向量，则，
由图知，二面角锐二面角，其余弦值为，故正切值.
17. 近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？
（2）为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：
①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；
②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用表格中的数据求出的观测值，结合临界值表可得结论；
（2）由题意可知，随机变量可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的期望值.
【小问1详解】
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=20040×30−70×602100×100×110×90=20011≈18.182>10.828=x0.001，
所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为购买AI手机与顾客的性别有关.
【小问2详解】
根据题意，随机变量可能取值为：、、、、，
，，
，，
，
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的期望.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上.
（1）求的方程；
（2）若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值；
（3）若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得面积的最大值；
（3）按直线的斜率是否为分类，在不为时设出方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合共线向量的坐标运算推理得证.
【小问1详解】
在直线方程中，令，得，即上顶点，则，
令，得，即，则，所以的方程为.
【小问2详解】
若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立得，
，
设点、，由韦达定理可得，，
所以，，
于是，
令，令，其中，
由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
当时，即当时，取最小值，
此时，的面积取最大值，且其最大值为.
【小问3详解】
当直线的斜率为时，不妨记、，
而，由，得，
则，因此；
当直线的斜率不为时，设、、，
设直线的方程为，
由消去得，
则，，
由韦达定理可得，，
如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即，
显然，设，即，
于是，
由点在直线上，得，
则，整理得，
于是，因此，，
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；
（3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求导，结合函数的定义域，分情况讨论导函数的符号，分析函数的单调性.
（2）首先问题转化为与函数（）的图象有两个交点，再利用导数分析函数的单调性、极值，可得的取值范围.
（3）假设满足条件的点存在，则问题可以转化成函数（）存在零点的问题.求导，分析函数单调性，判断函数的零点存在情况即可得到结论.
【小问1详解】
因为，，所以，.
因为，所以.
所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；
若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增.
【小问2详解】
设切点，切线斜率为：，所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.整理得：（）.
设（），则（）.
由，由.所以在上递减，在上递增.
又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，所以.
即所求的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，即，
因为，所以.
设（），则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.即方程在上无解.
即满足条件的点不存在.
【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围.
购买手机
购买不带的手机
总计
男性顾客
女性顾客
总计