河南省商丘市2025届高三下学期3月教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份河南省商丘市2025届高三下学期3月教学质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 若集合，则， 已知复数满足，则， 下列函数中，是奇函数的是， 已知平面向量满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
，所以，
所以.
故选：D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，则，所以.
故选：A
3. 已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】依题意，即，
假设等差数列的首项为，公差为，
则，解得,
故选：B.
4. 下列函数中，是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；
B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；
A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.
故选：C.
5. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，得，则，
由，得，因此，
所以.
故选：A
6. 把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
则，
由，解得，
因此函数的图象的对称轴方程为，
取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立.
故选：C
7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，
于是，
因此，
所以.
故选：D
8. 已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，则函数关于点中心对称，
令，则，则或，
当时，令，则，即，不合题意，舍去.
故，则令，即，即函数关于轴对称，
，
令，则，又∵，
∴，则，
即函数是周期为的周期函数，
∴，
∵函数关于点中心对称和轴对称，
∴导数关于对称和点中心对称，
同理可得，
∴，
∴切线方程为：，即.
故选：D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是；
对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是；
对于C，由，得，不成等比数列，C不是；
对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是.
故选：AD
10. 已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（）
A.
B. 与和圆各恰有一个公共点的直线有6条
C. 若圆上仅有一个点到的距离为2，则满足条件的的值有4个
D. 若上一点到的距离为，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，因为点在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为，所以圆心，
所以直线的斜率，
所以圆在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
代入抛物线的方程中，得，
由，解得，(舍去），故项正确；
对于B，如图所示，在轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与和圆各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样直线.根据对称，总共有6条直线与和圆各恰有一个公共点，故B正确；
对于C，若圆上仅有一个点到的距离为2，则圆心到直线的距离为3或1，
当圆心到直线的距离为3时，，解得或；
当圆心到直线的距离为1时，，解得或；故项正确；
对于 D ，因为 ，所以，当点与原点重合时等号成立，
此时取得最小值，故D错误．
故选：ABC.
11. 如图，正方体的棱长为1，点分别在棱上（与端点不重合），过点作平面，垂足为，则下列说法正确的是（ ）

A. 可能为直角三角形
B. 若为的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥
C. 若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，设，其中，
所以，
由余弦定理得，所以为锐角，同理其它两角也是锐角，故A错误；
对于B，

因为为的外心，所以，再由平面，
结合勾股定理易知，又三个侧面都是直角三角形，易证全等，
所以，故三棱锥为正三棱锥，正确；
对于C，若棱在面内，则棱与面所成的角为0，正弦值为0；
若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角，

以为例，（一样），设，则，
则的面积为，
由等体积，三棱锥的体积,
所以，所以，
即以为顶点，为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，
以或或为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角,

以点例，（或一样），因为平面,所以与平面所成角为，正弦值为1，
由线面角的定义可知：为与平面所成角，易知，正弦值为，
所以四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是
故C正确；
对于D，若，又，
即，
所以，
则，即，
所以，即，D正确；
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______．
【答案】122
【解析】设甲第二、第三次的分数分别为，由中位数为120，得，即，
所以甲同学这四次数学考试的平均分为.
故答案为：122
13. 过双曲线的右焦点作直线的垂线，垂足为与的右支交于点，若，则的离心率_____．
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为c，，
，设，由，得是线段的中点，
过作于，则∽，，
因此，解得，由点在双曲线上，
得，即，所以.
故答案为：
14. 记，若，则实数_______．
【答案】8
【解析】当均不为0时，由，得，
由，因此
，即，所以.
故答案为：8
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．
解：（1）在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以.
（2）在中，由余弦定理得，
则，即，当且仅当时取等号，
此时，所以的最大值为8，.
16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
解：（1）在四棱锥中，连接，由四边形是边长为2的菱形，，
得是正三角形，又为的中点，则，
而是正三角形，则，于是，
，又平面，
所以平面
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
，
所以二面角的正弦值为.
17. 口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．
（1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；
（2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望．
解：（1）从口袋中任取3个小球有种方法，编号全为奇数的取法有种，全为偶数的取法有种，
因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为，
所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为.
（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4，5，6，
从口袋中任取5个小球有种取法，
，，，
，，，
所以的分布列为
期望.
18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）证明：的面积为定值；
（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
解：（1）由椭圆的离心率为，得，即，
由点在上，得，联立解得，
所以的方程为.
（2）设，则，
由消去并整理得，
，，
，
所以△的面积为定值.
（3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为，
当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，，
当时，由共线，得，即，
整理得，而
，当且仅当时取等号，，
所以直线在轴上的截距的最小值为.
19. 若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
（1）若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列．
（2）已知函数，存在，使得．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：．
解：（1）由题意知.
因为，
又，
所以，即，
所以成等差数列.
（2）（i），
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减.
故，且当时，，当时，.
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
若，则在和上分别存在一个零点，记为，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，
故存在，满足.
所以的取值范围是.
（ii）因为，所以中值点满足，
由（i）知当时，即有两个零点，
所以在区间上所有可能的中值点即.
先证明：
由，得.
要证，即证.
设，
则
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减.
所以当时，，即.
因为，所以，即，
又，再结合在上单调递减，
可得，从而.
令，得，
所以.
1
2
3
4
5
6