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【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题07《数列》讲义（新高考专用）
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专题07 数列
知识回顾
一、数列的概念及性质：
1.数列及其有关概念
(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.
2. 数列的通项公式：
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.
3. 数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…
4. 递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
【温馨提示】：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
5. 数列的表示方法：(1)列举法：
（2） 图象法：数列可用一群孤立的点表示；
（3） 解析法（公式法）：通项公式或递推公式.
6. 数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
7. 数列的前项和和通项的关系：.
8. 数列的性质
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到
大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，数列具备单调性时，可以探讨数列的增减性与最大、最小项，以及和的最大与最小值，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
二、等差数列（及前n项和）的相关概念及性质：
（一）等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；.
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
【温馨提示】1.等差数列的前和的求和公式：.
2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
（二）等差数列的四种判断方法
1.定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
2.等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
3.通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
4.前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
5.是等差数列⇔是等差数列.
（三）等差数列的性质：
1.等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；[来源:学+科+网]
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；
②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
6. 等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
7. 最值问题：
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
当，时，有最大值；，时，有最小值；
若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.
（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
8. 数列中an与Sn的关系 ，对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
【温馨提示】(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
三、等比数列（及前n项和）的相关概念及性质：
1、等比数列的概念及通项公式
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )．
（2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
（3）如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．
（4）递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*).
（5）一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*).
2.等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3. (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列.
(3)等比数列各项均不能为0.
4.等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
5.等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
6. 等比数列前n项和的性质
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，
＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
【温馨提示】
一般地，使用等比数列求和公式时需注意
(1) 一定不要忽略q＝1的情况；在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
四、求数列的通项：
1.数列的通项公式：
（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.
（2）数列的前项和和通项的关系：.
2.求数列的通项公式的注意事项：
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值
得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
4. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.
5. 递推公式推导通项公式方法：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.
（5）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（6）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（7）待定系数法：（其中均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.
（8） 取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数
解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.
五、数列的求和：求数列前项和的基本方法：
（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；
等差：；
等比：公比是字母时需要讨论.
(理)无穷递缩等比数列时，
（2）掌握一些常见的数列的前项和公式：
；；
；
；
（3）倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法.
（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.
形如：其中，
（6）合并求和：如求的和.
（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.
常见拆项：
；.
常考题型
1.数列的分类
【例题1-1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
【自我提升1】下列叙述正确的是（ ）
A．与是相同的数列 B．是常数列
C．数列的通项 D．数列是递增数列
【自我提升2】已知，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定
2.数列的表示法：
【例题2-1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
【自我提升】图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
3.由递推公式求若干项：
【例题3-1】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 018.
【自我提升】已知数列，则数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
4.数列通项公式的应用：
【例题4-1】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【自我提升1】已知数列，下列选项中不可能作为此数列的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【自我提升2】已知数列的前5项为：，，，，，可归纳得数列的通项公式可能为（ ）
A． B． C． D．
【例题4-2】已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．11
【例题4-3】已知数列为递增数列，，则的取值范围是___________.
5.等差数列的概念及性质：
【例题5-1】若数列的通项公式，则此数列（ ）
A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列
C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列
【自我提升】已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例题5-2】在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；
（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.
【自我提升1】已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．25 B．24 C．20 D．19
【自我提升2】在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【例题5-3】在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【自我提升】已知数列均为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例题5-4】已知等差数列中，，，求及通项公式.
【自我提升】在数列｛an｝中，若，a1=8，则数列｛an｝的通项公式为_________．
【例题5-5】已知，在数列中，，．
（1）证明：是等差数列．
（2）求的值．
【例题5-6】方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．
【自我提升1】已知数列为等差数列，公差，且满足，则___________.
【自我提升2】设，都是等差数列，其中中首项为8，公差为3，中首项为12，公差为4.问：数列，是否有公共项？若有，求出第一个公共项，并写出由所有公共项组成的数列的通项公式.
6.等差数列的前n项和及性质：
【例题6-1】已知等差数列的前项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【自我提升】记为等差数列的前项和，若，则___________.
【例题6-2】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【自我提升1】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，，求这个数列的通项公式.
【自我提升2】已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
【例题6-3】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】已知等差数列{an}中，，且an<0，则S10为（ ）
A．-9 B．-11
C．-13 D．-15
【例题6-4】已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B. C. D.
【例题6-5】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
【例题6-6】等差数列满足.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若的前项和为，求的最大值.
【自我提升1】等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值时，n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【自我提升2】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）
A． B． C． D．
7.等比数列的概念及性质：
【例题7-1】已知一个等比数列的首项为，公比为q.
（1）将的前m项去掉，其余各项依次构成的数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？
（2）取出的所有奇数项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？
（3）取出的所有项数为5的倍数的各项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，给出证明并求出首项与公比；如果不是，说明理由.
【自我提升1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*).
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列.
【自我提升2】下面各数列是等比数列的是（ ）
（1），，，；
（2）1，2，3，4；
（3）x，x，x，x；
（4），，，.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4）
【例题7-2】已知数列为等比数列，首项，，且公比为正数．
（1）写出等比数列的通项公式；
（2）是否为中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【例题7-3】已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
【自我提升】已知等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【例题7-4】互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数．
【自我提升1】等比数列中，若，则（ ）
A．与都有最小值
B．与都有最小值
C．当时有最小值，有最大值
D．当时与都有最大值
【自我提升2】若等比数列中的，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【例题7-5】已知，，设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围.
【例题7-6】在中，角所对的边分别是满足：，且成等比数列.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若,判断三角形的形状.
【自我提升】已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.等比数列的前n项和及性质：
【例题8-1】在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
【例题8-2】在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
【自我提升1】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
【自我提升2】若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )
A．102 B．101
C．100 D．99
【自我提升3】记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【例题8-3】如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升1】某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【自我提升2】北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A． B． C． D．
9.数列的通项常用求法：
（1）观察法、前n项和求通项：
【例题9-1】将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即＝( )
A．2018×2012 B．2020×2013
C．1009×2012 D．1010×2013
【自我提升】某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记， ， ，…， 的长度构成的数列为，则的通项公式__________.
【例题9-2】根据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）. .
（2） .
（3）. .
【自我提升】已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为 .
【例题9-3】记为数列的前项和，若，则_____________．
【例题9-4】设数列的前n项和为.已知.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.
【自我提升1】数列的前项和为不等于的常数)，则_______.
【自我提升2】数列满足,则 .
（2）叠加法、累乘法求通项：
【例题9-5】设数列中，，则通项 .
【自我提升】已知数列＝ 。
【例题9-6】已知数列满足，，求。
【自我提升】已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b10•b11＝2，则b7b14＝ ，a21＝ ．
（3）构造特殊数列求通项：
【例题9-7】已知数列中，求的通项公式
【自我提升】已知数列满足，且，则________________.
【例题9-8】在数列中，，，求数列的通项.
【自我提升】已知数列满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求的通项公式。
（4）根据数列的递推关系求通项：
【例题9-9】已知函数,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求.
【例题9-10】已知数列满足，求数列的通项公式。
【例题9-11】数列满足，求数列的通项公式.
【例题9-12】已知数列满足
①求数列的通项公式；②求的值.
【自我提升1】已知数列满足，则= .
【自我提升2】已知数列中，,，求．
【自我提升3】数列满足，，．
（1） 设，证明是等差数列；
（2） 求数列的通项公式．
【自我提升4】设数列的前项和为，
（Ⅰ）求（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式
10.常见数列的求和：
（1）错位相减法求和:
【例题10-1】求和：
【自我提升】求和： .
(2)裂项相消法求和：
【例题10-2】等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【自我提升1】( )
A. B. C. D.
【自我提升2】
（3）分组求和、倒序相加法求和：
【例题10-3】在递增的等比数列{an}中，a2＝6，且4（a3﹣a2）＝a4﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．
【自我提升1】设数列的前n项和为，（ ）
A. B. C. D.
【自我提升2】数列2，的前n项之和为（ ）
A. B.
C. D.
【例题10-4】 .
【自我提升】计算：.
1. 已知数列，则是它的（ ）
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
2. 1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列.将图2中第行第列的数字记为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3. 等比数列1，，，，…的前项和等于（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
5. 若数列是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．64 B． C．256 D．
7. 已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则的值为( )
A．-2 B．2 C．-3 D．3
8. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
9. 设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
10. 已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
11.等差数列的前项和为，，，则___________．
12.已知整数对排列如下则第60个整数对是______________
13.在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
14.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则__________.
15.在等比数列{an}中，若，，则________.
16.已知数列，，且，则________．
17.数列中,,则数列的前5项为_______, 猜想它的通项公式是__________________.
18.设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： .
19.已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
20.已知数列满足，（），令.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
21.设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)若bn=−n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值．
22.已知数列满足，.
（1）求；
（2）记，证明：数列为等比数列.
23.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
（1）试用an表示an＋1；
（2）求证：是等比数列；
（3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
24.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，，是与的等比中项..
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
25.已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
26.已知正项数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
27.已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
28.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．
29.已知各项都为正数的数列满足，．
（1）求，；
（2）求的通项公式．
30.数列的前项和为，，
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和
31.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
32.已知数列满足，若对于任意，二次方程都有根，且满足。
（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和。
专题07 数列
知识回顾
一、数列的概念及性质：
1.数列及其有关概念
(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}.
2. 数列的通项公式：
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.
3. 数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
其中n∈N＋
递减数列
常数列
按其他标准分类
有界数列
存在正数，使
摆动数列
的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…
4. 递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
【温馨提示】：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
5. 数列的表示方法：(1)列举法：
（2） 图象法：数列可用一群孤立的点表示；
（3） 解析法（公式法）：通项公式或递推公式.
6. 数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
7. 数列的前项和和通项的关系：.
8. 数列的性质
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到
大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，数列具备单调性时，可以探讨数列的增减性与最大、最小项，以及和的最大与最小值，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
二、等差数列（及前n项和）的相关概念及性质：
（一）等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；.
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
【温馨提示】1.等差数列的前和的求和公式：.
2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
（二）等差数列的四种判断方法
1.定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
2.等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
3.通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
4.前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
5.是等差数列⇔是等差数列.
（三）等差数列的性质：
1.等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；[来源:学+科+网]
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；
②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
6. 等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
7. 最值问题：
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
当，时，有最大值；，时，有最小值；
若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.
（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
8. 数列中an与Sn的关系 ，对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
【温馨提示】(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
三、等比数列（及前n项和）的相关概念及性质：
1、等比数列的概念及通项公式
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )．
（2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
（3）如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．
（4）递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*).
（5）一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*).
2.等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3. (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列.
(3)等比数列各项均不能为0.
4.等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
5.等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
6. 等比数列前n项和的性质
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，
＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
【温馨提示】
一般地，使用等比数列求和公式时需注意
(1) 一定不要忽略q＝1的情况；在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
四、求数列的通项：
1.数列的通项公式：
（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.
（2）数列的前项和和通项的关系：.
2.求数列的通项公式的注意事项：
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值
得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
4. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.
5. 递推公式推导通项公式方法：
（1）累加法：
（2）累乘法：
（3）待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.
（5）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（6）待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
（7）待定系数法：（其中均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.
（8） 取倒数法：
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.
（9）取对数
解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.
五、数列的求和：求数列前项和的基本方法：
（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；
等差：；
等比：公比是字母时需要讨论.
(理)无穷递缩等比数列时，
（2）掌握一些常见的数列的前项和公式：
；；
；
；
（3）倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法.
（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.
形如：其中，
（6）合并求和：如求的和.
（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.
常见拆项：
；.
常考题型
1.数列的分类
【例题1-1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
【自我提升1】下列叙述正确的是（ ）
A．与是相同的数列 B．是常数列
C．数列的通项 D．数列是递增数列
【自我提升2】已知，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定
2.数列的表示法：
【例题2-1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项.
【自我提升】图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
3.由递推公式求若干项：
【例题3-1】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 018.
【自我提升】已知数列，则数列的第4项为（ ）
A． B． C． D．
4.数列通项公式的应用：
【例题4-1】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【自我提升1】已知数列，下列选项中不可能作为此数列的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【自我提升2】已知数列的前5项为：，，，，，可归纳得数列的通项公式可能为（ ）
A． B． C． D．
【例题4-2】已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．11
【例题4-3】已知数列为递增数列，，则的取值范围是___________.
5.等差数列的概念及性质：
【例题5-1】若数列的通项公式，则此数列（ ）
A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列
C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列
【自我提升】已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例题5-2】在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；
（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.
【自我提升1】已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）
A．25 B．24 C．20 D．19
【自我提升2】在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【例题5-3】在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【自我提升】已知数列均为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例题5-4】已知等差数列中，，，求及通项公式.
【自我提升】在数列｛an｝中，若，a1=8，则数列｛an｝的通项公式为_________．
【例题5-5】已知，在数列中，，．
（1）证明：是等差数列．
（2）求的值．
【例题5-6】方程的四个根组成首项为的等差数列，求其公差d及的值．
【自我提升1】已知数列为等差数列，公差，且满足，则___________.
【自我提升2】设，都是等差数列，其中中首项为8，公差为3，中首项为12，公差为4.问：数列，是否有公共项？若有，求出第一个公共项，并写出由所有公共项组成的数列的通项公式.
6.等差数列的前n项和及性质：
【例题6-1】已知等差数列的前项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【自我提升】记为等差数列的前项和，若，则___________.
【例题6-2】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【自我提升1】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，，求这个数列的通项公式.
【自我提升2】已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
【例题6-3】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】已知等差数列{an}中，，且an<0，则S10为（ ）
A．-9 B．-11
C．-13 D．-15
【例题6-4】已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【自我提升】含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B. C. D.
【例题6-5】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
【例题6-6】等差数列满足.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若的前项和为，求的最大值.
【自我提升1】等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值时，n等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【自我提升2】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）
A． B． C． D．
7.等比数列的概念及性质：
【例题7-1】已知一个等比数列的首项为，公比为q.
（1）将的前m项去掉，其余各项依次构成的数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？
（2）取出的所有奇数项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？
（3）取出的所有项数为5的倍数的各项，依次构成一个新的数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，给出证明并求出首项与公比；如果不是，说明理由.
【自我提升1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*).
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列.
【自我提升2】下面各数列是等比数列的是（ ）
（1），，，；
（2）1，2，3，4；
（3）x，x，x，x；
（4），，，.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4）
【例题7-2】已知数列为等比数列，首项，，且公比为正数．
（1）写出等比数列的通项公式；
（2）是否为中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【例题7-3】已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
【自我提升】已知等比数列中，，，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【例题7-4】互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数．
【自我提升1】等比数列中，若，则（ ）
A．与都有最小值
B．与都有最小值
C．当时有最小值，有最大值
D．当时与都有最大值
【自我提升2】若等比数列中的，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【例题7-5】已知，，设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围.
【例题7-6】在中，角所对的边分别是满足：，且成等比数列.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若,判断三角形的形状.
【自我提升】已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.等比数列的前n项和及性质：
【例题8-1】在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
【例题8-2】在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
【自我提升1】在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
【自我提升2】若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )
A．102 B．101
C．100 D．99
【自我提升3】记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【例题8-3】如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【自我提升1】某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【自我提升2】北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A． B． C． D．
9.数列的通项常用求法：
（1）观察法、前n项和求通项：
【例题9-1】将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即＝( )
A．2018×2012 B．2020×2013
C．1009×2012 D．1010×2013
【自我提升】某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记， ， ，…， 的长度构成的数列为，则的通项公式__________.
【例题9-2】根据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）. .
（2） .
（3）. .
【自我提升】已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为 .
【例题9-3】记为数列的前项和，若，则_____________．
【例题9-4】设数列的前n项和为.已知.
（I）求的通项公式；
（II）若数列满足，求的前n项和.
【自我提升1】数列的前项和为不等于的常数)，则_______.
【自我提升2】数列满足,则 .
（2）叠加法、累乘法求通项：
【例题9-5】设数列中，，则通项 .
【自我提升】已知数列＝ 。
【例题9-6】已知数列满足，，求。
【自我提升】已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b10•b11＝2，则b7b14＝ ，a21＝ ．
（3）构造特殊数列求通项：
【例题9-7】已知数列中，求的通项公式
【自我提升】已知数列满足，且，则________________.
【例题9-8】在数列中，，，求数列的通项.
【自我提升】已知数列满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求的通项公式。
（4）根据数列的递推关系求通项：
【例题9-9】已知函数,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求.
【例题9-10】已知数列满足，求数列的通项公式。
【例题9-11】数列满足，求数列的通项公式.
【例题9-12】已知数列满足
①求数列的通项公式；②求的值.
【自我提升1】已知数列满足，则= .
【自我提升2】已知数列中，,，求．
【自我提升3】数列满足，，．
（1） 设，证明是等差数列；
（2） 求数列的通项公式．
【自我提升4】设数列的前项和为，
（Ⅰ）求（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式
10.常见数列的求和：
（1）错位相减法求和:
【例题10-1】求和：
【自我提升】求和： .
(2)裂项相消法求和：
【例题10-2】等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【自我提升1】( )
A. B. C. D.
【自我提升2】
（3）分组求和、倒序相加法求和：
【例题10-3】在递增的等比数列{an}中，a2＝6，且4（a3﹣a2）＝a4﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．
【自我提升1】设数列的前n项和为，（ ）
A. B. C. D.
【自我提升2】数列2，的前n项之和为（ ）
A. B.
C. D.
【例题10-4】 .
【自我提升】计算：.
1. 已知数列，则是它的（ ）
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
2. 1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列.将图2中第行第列的数字记为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3. 等比数列1，，，，…的前项和等于（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知数列的前n项和为，且．若，则（ ）．
A．140 B．280 C．70 D．420
5. 若数列是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．64 B． C．256 D．
7. 已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则的值为( )
A．-2 B．2 C．-3 D．3
8. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
9. 设等比数列满足，则的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
10. 已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
11.等差数列的前项和为，，，则___________．
12.已知整数对排列如下则第60个整数对是______________
13.在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______
14.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则__________.
15.在等比数列{an}中，若，，则________.
16.已知数列，，且，则________．
17.数列中,,则数列的前5项为_______, 猜想它的通项公式是__________________.
18.设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： .
19.已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
20.已知数列满足，（），令.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
21.设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)若bn=−n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值．
22.已知数列满足，.
（1）求；
（2）记，证明：数列为等比数列.
23.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．
（1）试用an表示an＋1；
（2）求证：是等比数列；
（3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
24.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，，是与的等比中项..
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
25.已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
26.已知正项数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
27.已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
28.数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．
29.已知各项都为正数的数列满足，．
（1）求，；
（2）求的通项公式．
30.数列的前项和为，，
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和
31.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
32.已知数列满足，若对于任意，二次方程都有根，且满足。
（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和。
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