新高考数学二轮复习大题题型归纳训练专题13 圆锥曲线中的存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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1．已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设动直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
2．已知圆，点，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
3．在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
4．如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
5．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
6．已知点A是圆上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点．问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立．若存在，请求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
7．已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为．
(1)求C的标准方程．
(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足，，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
8．已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
9．已知椭圆 经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且、、三点共线.其中为坐标原点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
10．已知椭圆的焦距为2，长轴长为4.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.问：平面内是否存在定点，使得恒在直线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
11．已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点，.
(1)求E的方程；
(2)已知，是否存在过点的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
二、双曲线中的存在性问题
13．设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
14．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
15．已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
16．过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．
17．平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.
18．已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
19．已知双曲线 的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．

(1)求的标准方程；
(2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
20．已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点．
(1)求，的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知双曲线的一条渐近线为，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点作直线交双曲线的右支于两点，点满足，求证：存在两个定点，使得为定值，并求出这个定值.
24．已知，为双曲线C的焦点，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由.
三、抛物线中的存在性问题
25．已知抛物线C：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程；
(2)在y轴上是否存在定点M，使得直线MP，MQ关于y轴对称？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
26．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，其中为坐标原点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线相交于、两点，以为直径的圆过点，作，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
28．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两不同点．
(1)若直线过左焦点，求的周长；
(2)若直线过点，求的取值范围；
(3)已知常数，点A是椭圆与抛物线在第一象限的公共点．是否存在点，使得线段的中点在抛物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知抛物线，过定点，作直线交抛物线于（点在第一象限）．
(1)当点是抛物线的焦点，且弦长时，求直线的方程；
(2)设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且．求证：点的坐标是，并求点到直线的距离的取值范围．
30．已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
31．已知抛物线的焦点为，过点斜率为1的直线与抛物线相交所截得的弦长为2.
(1)求的值并写出抛物线焦点的坐标；
(2)设点是抛物线外任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，探究：是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
32．过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，
(1)求的方程；
(2)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
33．抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
34．已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
35．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究在轴上是否存在异于的定点，使得轴为的角平分线，若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由.
36．已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点A，B，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上是否存在异于N的定点M满足恒成立.若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.