新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第40讲 指对函数问题之凹凸反转（2份，解析版）

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（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
【解答】解：（1）依题意，，又，解得，
，
令，解得，令，解得，
的单调递增区间为，单调递增区间为；
（2）证明：要证成立，只需证成立，
令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又由（1）可得在上，
，故不等式得证．
2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数．
【解答】解：（Ⅰ） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数，
所以，即，
则，
解得，
显然时，是实数集上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
方程可转化为，
令，，
因为，令，得，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
当时，，
又
所以在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
所以当，即时，方程无解，
当，即时，方程有一个根，
当，即时，方程有两个根，
综上得：
当时，方程无解，
当时，方程有一个根，
当时，方程有两个根．
3．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】（1）解：令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，
只需证明成立即可，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，（1），
因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），
所以，
因此，当时，．
4．已知函数，，均为不足近似值）
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）证明：当时，不等式恒成立．
【解答】解：（1）对求导得，
时，，，
，
在，递增；
（2）证明：，
，
又在递增，
在内有唯一1个零点，
且，，，
是在上唯一的极小值点，也是最小值值点，
，，
在，递减，
，
．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：的定义域是，
，
时，，，
故，在，递增；
（Ⅱ）证明：当时，，而，
，即在，成立；
当时，在递增，
，
时，恒成立，
，
在，恒成立；
当时，，
，，
故，，使得，
在递增，
是的唯一极小值点，也是最小值点，
从而，，，
，，
在，递减，
，
在，恒成立；
综上，当时，不等式恒成立．
6．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
故在递增；
又（1），（e），
故函数在内存在零点，
的零点个数是1；
（2），
，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
时，，递减，
，时，，递增，
综上，时，在递减，
时，在递减，在，递增；
（3）由题意得：，
问题等价于在恒成立，
设，
若记，则，
时，，
在递增，
（1），即，
若，由于，
故，故，
即当在恒成立时，必有，
当时，设，
①若，即时，
由（2）得，递减，，，递增，
故（1），而，
即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，
设，
，
由于，且，
即，故，
因此，
故在递增，
故（1），
即时，在恒成立，
综上，，时，在恒成立．
7．设函数，证明．
【解答】证明： ，
从而等价于 ．
设函数 ，
则 ，
所以当时，；
当，时，．
故在上单调递减，在，上单调递增，
从而在上的最小值为．
设函数，则．
所以当时，；
当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在上的最大值为（1）；
因为（1），
所以当时，，即．
8．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解答】解：（1）当时，，
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减；
在处取得极大值（2），无极小值；
（2）当时，，
下面证，即证，
设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，
设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
9．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；
（Ⅱ）当时，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）时，，，
注意到与都是增函数，于是在上递增，
又，故时，；故时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值1，无极大值．（6分）
（Ⅱ）方法一：当，时，，，
，，
故只需证明当时，．
当时，在上单增，
又，，
故在上有唯一零点．
当时，；当，时，．
从而时，取得最小值．
由得：，，
故，
综上，当时，．（12分）
方法二：先证不等式与，
设，则，
可得在上单减，在上单增，
，即；
设，则，
可得在上单增，在上单减，
（1），即．
于是，当时，，
注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、、，它们无法同时取等，
所以，当时，，即．（12分）
10．设函数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解答】解：（1）由题意得，
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数；
所以是的极大值点，无极小值点
（2）证明：令，
则，
令，则因为，
所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，
又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），
且当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），
由（c）得即，两边取对数得：，
所以（c），（c），从而证得．
11．设函数，，其中，，是自然对数的底数．
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）当时，证明：．
【解答】解：（1），，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故时，取得最小值；
（2），
在处的切线方程为，
，
在点处的切线方程为，
由题意得，则，
令，则，
由（1）得时，单调递减，且，
当时，单调递增，又（1），时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递减，
由（1）得，
又，
（1），所以函数在和内各有一个零点，
故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）证明：，
令，以下证明当时，的最小值大于0，
求导的，
①当时，，（1），
②当时，，令，
，又（2），
，又（2）
取且使，即，
则，
（2），故存在唯一零点，
即有唯一的极值点，又，
且，即，故，
，故是上的减函数，
（2），所以，
综上所求，当时，．