新高考数学一轮复习题型突破精练专题6.3 复数（2份，原卷版+解析版）

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题型一复数的分类
例1．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）已知复数为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．1或D．或0
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义求解.
【详解】因为z是纯虚数，所以，解得．
故选：B．
例2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可.
【详解】由题知，
复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为，
故选：B.
练习1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）设，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先利用复数运算对复数化简，再利用实部为零，虚部不为零解出，最后确认是充要条件.
【详解】依题意，，
，
故，
若该式为纯虚数，则，解得.
故选：C.
练习2．（2022·高三单元测试）（多选）设是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则不一定是实数B．若，则是虚数
C．若是虚数，则D．若是纯虚数，则
【答案】BD
【分析】因为是复数，可设，先表示出，再根据四个选项的条件逐项验证即可.
【详解】设，则，
对于A，因为，所以，因为，可得，即，所以一定是实数，所以选项A错误；
对于B，因为，所以，因为，所以且，即，所以是虚数，所以选项B正确；
对于C，若是虚数，则，即，若，则为虚数，不能和0比较大小，若，则，均不满足，所以选项C错误；
对于D，若是纯虚数，则且，即，所以，所以选项D正确.
故选：BD.
练习3．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；
（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；
（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.
【详解】（1）由题意复数，
当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即且时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
练习4．（江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试题）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】设，，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.
【详解】设，，则，
因为，所以，则，解得，
所以复数的虚部为.
故选：C
练习5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）（多选）已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.
【详解】设复数（a，，），，（，），，
对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确；
对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确；
对于C，，
若，则不一定为实数，故C不正确；
对于D，，
，故D正确.
故选：AD.
题型二复数的几何意义
例3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简，根据对应点所在象限列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】，
对应点，
由于点在第一象限，
所以，解得.
故选：A
例4．（2023春·全国·高三专题练习）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答.
【详解】因为复数为纯虚数，则，解得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
练习6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数对应点的对称关系得，应用复数除法化简目标式即得结果.
【详解】由对应点为，则对应点为，故，
所以.
故选：D
练习7．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义结合图象可得.
【详解】
如图，由题意可知，与轴夹角为，
绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，
所以的坐标为，所以对应的复数为.
故选：A.
练习8．（江苏省南通市2023届高三高考前练习数学试题）若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】利用已知条件先求出，根据复数的意义，分别写出坐标，再利用两点间的距离公式计算即可.
【详解】由，
所以，
所以，
故与在复平面内对应的点分别为，
所以，
故选：A.
练习9．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.
【详解】因为复数满足：，即，
故或，
因为复数所对应的点在第四象限，
故复数，所以.
故选:C.
练习10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在复平面中，点O为坐标原点，记，，表示的复数分别为，记z为所表示的复数，则（ ）
A．25B．8C．5D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义可得，求出，再由共轭复数的定义和复数的乘法运算化简即可得出答案.
【详解】因为，，表示的复数分别为
所以，
，
则，
那么，所以.
故选：A．
题型三复数模的计算
例5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）若复数z满足，______．
【答案】
【分析】化简，然后用复数模的公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
例6．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______．
【答案】（答案不唯一，满足（）均可）
【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.
【详解】设，（），
则，，
因为，
所以，解得：，
所以，（）
所以可以取.
故答案为：（答案不唯一，满足（）均可）.
练习11．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数，且为纯虚数，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法运算法则化简，由纯虚数的概念求出，由复数的除法运算以及复数的模长公式可得结果.
【详解】复数，则，
依题意得，，解得，即，
，
所以.
故选：.
练习12．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知为虚数单位，复数，则______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算求得，可得，根据复数模的计算即得答案.
【详解】由可得，
故，
故答案为：
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，写出一个满足条件的复数______．
【答案】（答案不唯一，虚部为即可）
【分析】设复数，代入复数的模的公式求解即可.
【详解】设，（，），
则，
，
∵，∴，
∴，化简得，解得.
∴满足条件的一个复数（答案不唯一，虚部为即可）.
故答案为：（答案不唯一，虚部为即可）.
练习14．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则a＝（ ）
A．1B．0C．2D．±1
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算和复数模的计算即可
【详解】
化简得
则
解得，
故选：D．
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，为虚数单位，若复数，，则______．
【答案】
【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得．
【详解】因为
由，得，得．
故答案为：．
题型四复数模的几何意义
例7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】由可设：，
，
（其中），
当时，即时，
.
故选：C.
例8．（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据和的几何意义，结合双曲线的图象即可得到的最小值.
【详解】设复数在复平面上对应的点的坐标为，则表示点到的距离与到的距离的差为4，
所以点的轨迹为双曲线的右支，图象如下所示：

表示点到的距离，所以的最小值为3.
故选：A.
练习16．（2023春·湖北襄阳·高三宜城市第一中学校联考期中）已知复数满足，则在复平面中对应的点所构成的图形的面积为__________.
【答案】
【分析】根据复数模的几何意义结合圆的面积计算，即可求得答案.
【详解】根据题意可知复数满足，
则由复数模的几何意义知对应的点所构成的图形为半径为2和的两个同心圆所围成的圆环，
则其面积为，
故答案为：
练习17．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知，则（为虚数单位）的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设得到，由，得到表示单位圆上的点到点的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】设，其中，由，可得，
根据复数的几何意义可得复数表示原点为圆心，半径为的单位圆，
则，
可得表示单位圆上的点到点的距离，
因为，所以的最大值为.
故选：C.
练习18．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】转化为动点到两定点距离相等的几何意义即可得到答案.
【详解】设复数在复平面内对应的点分别为,
则的几何意义是到的距离和到的距离相等,
则在复平面内对应的点满足.
故选：D.
练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________
【答案】
【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】设，
，
,即，
化简整理可得 ，
复数的对应点的轨迹，
对应的点为点，
点与点之间距离的最小值为，
故答案为：
练习20．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据分析出对应点轨迹方程，再根据的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.
【详解】设，
因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，
又，
所以表示圆C上的动点到定点的距离，
所以为，
故选：B．
题型五复数的四则运算
例9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出，再结合复数的概念求解作答.
【详解】依题意，，
因为复数是纯虚数，且，则且，解得，
所以.
故选：D
例10．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求出，再根据共轭复数的定义得到.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
练习21．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知复数z 满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.
【详解】 ，
所以
故选：D．
练习22．（2023·云南保山·统考二模）如果复数（其中为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么的模长等于（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得，根据题意求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数的运算法则得，因为复数为纯虚数，所以且，解得，
所以，所以.
故选：A.
练习23．（2023·江西·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的运算化简复数，再求共轭复数即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
练习24．（2023·宁夏银川·校联考二模）规定运算，若复数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据所给运算及复数代数形式的乘法运算化简即可.
【详解】因为，所以，
即，所以.
故选：D
练习25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】利用复数的除法可求，从而可求其模.
【详解】由题设可得，故，
故，
故选：B.
题型六的幂运算
例11．（2023·山东·模拟预测）若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】先由，再代入求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
，
故选：B
例12．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据复数的乘方求出，再根据复数的除法运算即可得解.
【详解】因为，
则，
所以在复平面上所对应的点为位于第二象限.
故选：B.
练习26．（2021春·高三课时练习）计算：＝________.
【答案】9＋2i
【分析】利用的周期性、复数的四则运算计算求解.
【详解】原式＝
＝（－i）14＋10＋i－
＝－1＋10＋i＋i
＝9＋2i.
故答案为：9＋2i.
练习27．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）已知（i是虚数单位），则（ ）
A． B．1C．0D．i
【答案】B
【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.
【详解】由题意,
故选：B
练习28．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，由复数的乘方可得，即可求解.
【详解】依题意：，
所以，，，得，
所以．
故选：A．
练习29．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象限.
【详解】∵，
∴复数z所对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
练习30．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用的性质求解，再求模即可．
【详解】.
故选：C.
题型七待定系数法求复数
例13．（2023·浙江·校联考二模）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算规则计算.
【详解】 ；
故选：B.
例14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设复数，则，根据复数的加减法与复数相等求得结果.
【详解】设复数，则，
则，则，，
所以．
故选：C.
练习31．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知复数对应的点在复平面第一象限内，是的共轭复数，那么同时满足和的复数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出复数，由共轭复数的定义可得，依题意列出方程组即可求出复数，再结合复数对应的点在复平面第一象限，即可判断.
【详解】设，则，
由，得：，所以，
由，得：，所以，
又因为复数对应的点在复平面第一象限内，所以，故，
故选：B．
练习32．（2023·江西九江·统考三模）已知复数z满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】设，然后根据复数的四则运算求出，然后代入复数模的计算公式即可求解.
【详解】设，则，
即，
，解得，，.
故选：.
练习33．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】A
【分析】根据复数相等的充要条件可得，进而得，由模长公式即可求解.
【详解】设，，
，，
，，
.
故选：A
练习34．（2023·江西南昌·统考三模）若虚数z使得是实数，则z满足（ ）
A．实部是B．实部是C．虚部是D．虚部是
【答案】A
【分析】设（且），计算，由其为实数求得后可得．
【详解】设（且），，
是实数，因此，（舍去），或．
故选：A．
练习35．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】首先设复数，(不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.
【详解】设，(不同时为0)，
，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点与的距离.
故选：C
题型八复数的三角表示（选学）
例15．（2023·全国·高一专题练习）复数与下列复数相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设，，故A、C、D错误；
而，故B正确.
故选：B
例16．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．
【答案】
【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.
【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
.
故答案为：.
练习36．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列复数的三角形式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据复数三角形式直接得到答案.
【详解】复数的三角形式为，
所以只有B、C正确，
故选：BC.
练习37．（2022春·高三课时练习）把复数化三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形公式求解求解即可.
【详解】设复数的三角形式为,则,,可取,
从而复数的三角形式为.
故选:C.
练习38．（2022春·高三课时练习）求复数的辐角的主值为________.
【答案】
【分析】将复数写成三角形式，再根据辐角的定义即可得解.
【详解】，
所以复数的辐角的主值.
故答案为：.
练习39．（2022春·高三课时练习）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【详解】
逆时针旋转后得，所以
=.
故选：A
练习40．（2022春·高三单元测试）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为
(1)求复数；
(2)若复数，求复数.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数；
(2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可.
【详解】（1）复数逆时针旋转后得,
顺时针旋转后得.
（2）由（1）得.
题型一
复数的分类
题型二
复数的几何意义
题型三
复数模的计算
题型四
复数模的几何意义
题型五
复数的四则运算
题型六
的幂运算
题型七
待定系数法求复数
题型八
复数的三角表示（选学）