湖北省武汉市新洲区部分学校2023_2024学年度高二数学上学期期末质量检测试卷

这是一份湖北省武汉市新洲区部分学校2023_2024学年度高二数学上学期期末质量检测试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则（ ）
A．160B．180C．190D．253
3．如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有多少条（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
7．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体，其直观图如图所示，，，P、Q、M、N分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）．设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
B．过双曲线焦点的最短弦长为
C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D．已知，，则在方向上的投影向量为
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列B．
C．使时的最小值是21D．最小时，
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正：确的有（ ）
A．曲线围成的图形有6条对称轴
B．曲线围成的图形的周长是
C．曲线上的任意两点间的距离不超过5
D．若是曲线上任意一点，的最小值是
12．如图，在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得截面的面积为
C．与所成角为
D．若，则三棱锥的体积最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共3升，最下面3节的容积共6升，则第5节的容积为__________升．
14．已知直线，互相垂直，则的值为_________．
15．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为_________．
16．如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且，N是侧面上点，且平面，则线段的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解答下列问题：
（1）求过点，且与直线平行的直线方程；
（2）求过点，，三点的圆的标准方程．
18．（本小题满分12分）
记为数列的前n项和，且，
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
已知圆．
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（不在平面内）．
（1）证明：；
（2）若直线与平而所成的们为，求二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作斜率不为0的直线交双曲线于A，B两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度上学期期末
新洲区部分学校高中二年级质量检测
数学试卷（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AD10．BCD11．BD12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．0或215．716．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤．
17．（本小题满分10分）
【详解】（1）设与直线平行的直线为，
将代入得，
故所求直线方程为
（2）设圆的方程为，，
由题意可得，即
解得，，，
则圆的方程为，即．
18．（本小题满分12分）
【详解】（1），
，
又，数列是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，即，
当时，；当时，．
又不适合上式，故数列的通项公式为
19．（本小题满分12分）
【详解】（1）由题可知，其中，所以，
又点在椭圆上，所以，即，解得，．
所以椭圆E的方程为．
（2）由椭圆的方程，得，所以，
设，其中，，因为，所以．
又点在椭圆上，所以，
联立得，解得或（舍），
当时，，即或．
所以当C的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
方法2：，，
设的方程为代入，得．
，，得．
直线的方程为或
20．（本小题满分12分）
【详解】（1）圆，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离，
则相交弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为：，即，
此时圆心到直线的距离，
则相交弦长为，解得：．
所以此时直线的方程为：，即．
（2）在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，所以弦长，
所以，当时最大，，
即，即，解得或，
的最大值为1，此时直线的方程为：或．
21．（本小题满分12分）
【详解】（1）连接，交于点，，，
四边形为平行四边形，，四边形为菱形，
，即，，折叠后，，又，
平面，又平面，．．
（2）在平面内作平面，垂足为，则在直线上，
直线与平面夹角为，
又，，、Q两点重合，即平面，
以O为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令得，又平面，为平面的一个法向量，设二面角为，则，
由图可知二面角为钝角，所以．
22．（本小题满分12分）
【详解】（1）由题意可得，可得，，所以，
又因为，．所以，由，
所以可得，而，
所以，可得，，所以双曲线的方程为：；
（2）由（1）可得，因为直线的斜率不为0，设，，，联立，整理可得：，因为，，，．
因为，要使为定值，则，解得，，
所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为0，
此时，
又，，则，令，则，
所以，又在上单调递减，
所以当，即，方程为时，面积取到最小值，且．