湖北省武汉市武昌区2024_2025学年高二数学下学期末质量检测试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区2024_2025学年高二数学下学期末质量检测试卷，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，下列能整除的数是，已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数z的共轭复数对应点的坐标为，则（ ）
A.4B.2C.D.
2.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ）
A.1B.2C.D.
4.已知圆锥底面半径为3，高为9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数，则在区间上的极大值点为（ ）
A.B.C.D.
6.下列能整除的数是（ ）
A.5B.6C.7D.8
7.已知函数，其函数图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则实数的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，记，，则不等式的解集为（ ）
A.不能确定B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知数列满足，则（ ）
A.B.数列是单调递增数列
C.数列不是等差数列D.数列不是等比数列
10.根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布.假设生产状态正常.记Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量，则（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则
①；②；
③；参考数据：
A.B.C.D.
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（ ）
A.曲线C与直线有3个公共点B.曲线C上任意两点距离最大值为4
C.的最大值为D.曲线C所围成图形面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则实数k的值是__________.
13.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足，，，若该三棱锥体积的最大值为3，则该球的半径为__________.
14.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__________.
四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，四棱锥中，平面ABCD，，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）若，求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值.
16.（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的值；
（2）若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积.
17.（15分）已知函数，.
（1）若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
18.（17分）有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止.
（1）求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望；
（2）求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率；
（3）设游戏进行到第n（，）次后停止的概率为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
19.（17分）已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为.
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程；
（3）已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由.
武昌区2024~2025学年度高二年级期末质量检测
数学参考答案
填空题：
填空题
12. 13. 14.4或5
15.（1）已知，，，，
在直角梯形ABCD中，
，，
因为，可知.
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以又，可得平面PAC.
（2）以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
已知，则，，，.
所以，，.
设平面PCD的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
因为平面ABCD，，平面PAB的一个法向量为.
设平面PAB和平面PCD夹角为，
则.
16.（1）已知，由正弦定理得，
即.
因为，展开式子得
移项可得，即.
因为，所以，则.
解得，又，所以.
（2）已知，，，因为BD是的角平分线，
则，
所以.
又因为BE是的角平分线，
则，
所以.
所以.
17.（1）因为，则，所以在上的切点为，即；
又因为，则，所以在上的切点为；
所以，则.
（2）因为，即.
设，，故单调递增.
所以恒成立.
令，，则.
当，，单增；
当，，单减；
所以.
18.（1）投掷一次骰子，向上点数为质数的概率为，由题知，，
则，，，，则X的分布列为：
则其期望为.
（2）记“此人投掷三次骰子后，乙罐内恰有红、黑各一球”，
记“第i次摸出红球，并且投掷出质数”，，2，3，
记“第j次摸出黑球，并且投掷出质数”，，2，3，
记“第k次摸出黑球或红球，并且没有投掷出质数”，，2，3，
所以，
又，，，
所以，
同理，
所以.
（3）第n次投掷后游戏停止的情况是：前次投掷出质数恰好为4次，没投掷出质数次，且第n次骰子投掷出质数时游戏停止，
所以，
即，
令，解得，令，解得，即，
，所以的最大值
19.（1）对于椭圆，已知焦点坐标为，
则，.
对于双曲线，渐近线方程为，所以，即.
联立，将代入得，解得，
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为.
（2）联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，
化简得.
设，由韦达定理，则.
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为.
可得，，即
代入得：，
故点N的轨迹方程
（3）设直线PQ方程：，，
联立
其中由韦达定理得：
，，由
即
由于直线PQ不过点T，故化简得
故
此时直线，恒过定点
由于，故点H在以TS为直径的圆上，圆心，半径
所以等号成立时，，
经过点，而点不在曲线C上，故的最小值不存在.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
C
B
B
D
C
D
ACD
BD
BCD
X
0
1
2
3
P