2023-2024学年广东省佛山市南海区桂城街道八年级（下）核心素养数学试卷 (含解析)

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区桂城街道八年级（下）核心素养数学试卷 (含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列各分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
4．（3分）等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角的大小是
A．或B．或C．或D．或
5．（3分）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为40公斤，60公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是
A．B．C．D．
6．（3分）已知矩形的周长是10，长是宽的函数，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的图象是
A．B．
C．D．
7．（3分）若分式方程有增根，则的值为
A．1B．C．2D．
8．（3分）两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成
A．1种B．2种C．3种D．4种
9．（3分）若关于的不等式的非负整数解仅有2个，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．（3分）关于一次函数，，下列说法：①函数与的图象关于轴对称；②当时，；③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果分式的值等于0，那么的值是 ．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交线段于点，由作图的结果可得△的周长为 ．
14．（3分）已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 ．
15．（3分）若关于，的方程组的解是正整数，则整数的值是 ．
16．（3分）如图，是等边三角形，，点是边延长线上的任意一点，其中，，垂足分别是、，则 ．
三、解答题（一）：（本大题3题，每小题7分，共21分）
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
18．（7分）如图，已知点、、、在一条直线上，、相交于，，，．
（1）求证：；
（2）如果把沿折翻折使点落在点，连接和． 求证：四边形是平行四边形．
19．（7分）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，后勤处计划购买，两种型号的教学展台，已知型展台价格比型展台价格每台贵300元，用 60000元购买型展台的数量与用48000购买型展台的数量相同．
（1）问，型展台单价分别是多少元？
（2）该中学计划购买两种展台共30台，要求型展台数量不少于型展台数量的，请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，△的顶点均在格点上．只利用无刻度的直尺和网格画图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图（1）中，作出△其中一条的中位线；
（2）在图（2）中，作出△内部一点，使得点到△三个顶点距离相等．
21．（9分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：
任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化．任务2：请利用表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式；
【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度．
任务3：当流水时间为时，求水面高度的值．
【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
22．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为．
①用含的代数式表示的面积；
②当时，求点的坐标；
③在②的条件下，以为斜边在第一象限作等腰直角，求点的坐标．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（12分）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
（1）利用作差法比较与1的大小；
（2）比较与大小；
（3）已知，，为实数，满足，，比较与的大小．
24．（12分）如图，四边形满足，对角线平分．
（1）证明：；
（2）若，，求的值；
（3）若，以为圆心、为半径画弧，交延长线于点，连接、，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是
A．B．C．D．
解：．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
2．（3分）下列各分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
解：．原式，所以选项不符合题意；
．为最简分式，所以选项符合题意；
．原式，所以选项不符合题意；
．原式，所以选项不符合题意．
故选：．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
解：，由①得，；由②得，，
故此不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：．
4．（3分）等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角的大小是
A．或B．或C．或D．或
解：当的角是底角时，三角形的底角就是；当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度．
故选：．
5．（3分）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为40公斤，60公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是
A．B．C．D．
解：由题意可得：，
解得：，
故选：．
6．（3分）已知矩形的周长是10，长是宽的函数，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的图象是
A．B．
C．D．
解：长宽，
当，（长方形的长不能为0，不符合题意），
当，（长方形的宽不能为0，不符合题意），
和的点是空心点，
故选：．
7．（3分）若分式方程有增根，则的值为
A．1B．C．2D．
解：因为，
去分母得：，
解得：，
因为分式方程有增根，
所以，即：是方程增根，
所以．
故选：．
8．（3分）两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成
A．1种B．2种C．3种D．4种
解：如图所示：
最多可以拼成3个，
故选：．
9．（3分）若关于的不等式的非负整数解仅有2个，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：解不等式得，
因为此不等式组的非负整数解仅有2个，
所以，
故选：．
10．（3分）关于一次函数，，下列说法：①函数与的图象关于轴对称；②当时，；③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
解：于一次函数，的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确；
由图象可知，当时，，故②正确；
函数的图象过点，
，
，即，
函数，
函数的图象必过一、三象限，故③正确，
综上所述：正确的个数有3个．
故选：．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果分式的值等于0，那么的值是 ．
解：由题意得，，，
解得，，
故答案为：．
12．（3分）分解因式： ．
解：原式
．
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交线段于点，由作图的结果可得△的周长为 ．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
根据作图可得，平分，
，
，
如图所示，过点作交于点，
，
，
，
△的周长为．
故答案为：．
14．（3分）已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 6或10 ．
解：如图，设等腰三角形的腰长是．
当与的差是2时，即，
解得：，
10，10，8能够组成三角形，符合题意；
当与的差是2时，即，
解得：，
6，6，8能够组成三角形，符合题意．
综上所述，腰长是6或10．
故答案为6或10．
15．（3分）若关于，的方程组的解是正整数，则整数的值是 2或 ．
解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：
，
解得：，
方程组的解为正整数，
与都要能被3整除，
或，
故答案为：2或．
16．（3分）如图，是等边三角形，，点是边延长线上的任意一点，其中，，垂足分别是、，则 ．
解：过作于，连接，
，，垂足分别是、，
△的面积，△的面积，△的面积，
△的面积△的面积△的面积，
，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（一）：（本大题3题，每小题7分，共21分）
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，原式．
18．（7分）如图，已知点、、、在一条直线上，、相交于，，，．
（1）求证：；
（2）如果把沿折翻折使点落在点，连接和． 求证：四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）如图1，
，
，
在和中，
，
；
（2）如图2，
，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
19．（7分）某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，后勤处计划购买，两种型号的教学展台，已知型展台价格比型展台价格每台贵300元，用 60000元购买型展台的数量与用48000购买型展台的数量相同．
（1）问，型展台单价分别是多少元？
（2）该中学计划购买两种展台共30台，要求型展台数量不少于型展台数量的，请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元．
解：（1）设型展台的单价为元，则型展台的单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：型展台的单价为1500元，型展台的单价为1200元；
（2）设购买型展台台，则购买型展台台，总花费为元，
依题意．得，
随的增大而增大，
要求型展台数量不少于型展台数量的，
，
解得，
当时，的值最小，最小值为39000元，此时（台，
答：购买型展台10台，型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，△的顶点均在格点上．只利用无刻度的直尺和网格画图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图（1）中，作出△其中一条的中位线；
（2）在图（2）中，作出△内部一点，使得点到△三个顶点距离相等．
解：（1）如图1中，线段即为所求（答案不唯一）；
（2）如图，点即为所求．
21．（9分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：
任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化．任务2：请利用表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式；
【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度．
任务3：当流水时间为时，求水面高度的值．
【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
解：任务1：根据表格中的数据可知：每隔水面高度观察值的变化量为：
，，，，
结论：水面高度观察值的变化量为定值；
任务2：设水面高度与流水时间的函数解析式为，
时，，时，；
，
解得：，
水面高度与流水时间的函数解析式为；
任务3：把代入得：
，
答：当流水时间为时，求水面高度为；
任务4：在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了．
22．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为．
①用含的代数式表示的面积；
②当时，求点的坐标；
③在②的条件下，以为斜边在第一象限作等腰直角，求点的坐标．
解：（1）把代入得
直线的函数表达式为：．
令得：，解得：
点的坐标为．
（2）①垂直平分，
．
将代入得：．
点的坐标为．
点的坐标为，
．
，
．
②，
，解得：．
点的坐标为．
③如图1所示：过点作，垂足为，再过点作于点．
设点．
为等腰直角三角形，为斜边，
，．
，，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，解得．
点的坐标为．
如图2所示：过点作，垂足为，再过点作于点．
设点．
为等腰直角三角形，为斜边，
，．
，，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，解得．
点的坐标为（舍去）．
综上所述点的坐标为．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（12分）【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
（1）利用作差法比较与1的大小；
（2）比较与大小；
（3）已知，，为实数，满足，，比较与的大小．
解：（1）由题意得，．
，
．
．
．
．
（2）由题意得，
．
①当时，
．
又对于任意的都有，
．
．
．
②当时，
．
．
．
．
③当时，
．
又对于任意的都有，
．
．
．
综上，当时，；当时，；当时，．
（3）由题意，①，②，
①②得，．
．
对于任意的都有，
．
．
24．（12分）如图，四边形满足，对角线平分．
（1）证明：；
（2）若，，求的值；
（3）若，以为圆心、为半径画弧，交延长线于点，连接、，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1，过点作，交的延长线于点；作，垂足为；
平分，，，
；
又，；
，
在△与△中，
，
△△，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，作，垂足为；
由（1）知，，
在△和△中，
，
△△，
，
同理△△，
，
设，则，，
，
解得：，
，，
，，
；
（3）解：结论：，理由如下：
如图，延长交于点，连接，过点作于点，于点，过点作于点，过点作于点，
，
是的直径，即与共线，
平分，
，
，
，
平分，，，
，
，，
，即，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，，
设，，
则，，，，
在△中，，
．
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度（观察值）
30
29
28
27
26
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
C
D
B
C
D
D
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度（观察值）
30
29
28
27
26