福建省泉州市石狮市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份福建省泉州市石狮市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 25的平方根是（ ）
A. 5B. -5C. D.
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A. 9B. 7C. 12D. 9或12
4. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A B. C. D.
5. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）

A. 95分的人数最多B. 最高分与最低分的差是15分
C. 参赛学生人数为8人D. 最高分为100分
6. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则面积为（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
9. 如图，在中，点M，N为边上的两点，， 于点D，且，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 整数满足，则________．
12. 等角对等边的逆命题是____________________________.
13. 某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试距离，列出频数分布表如下：
根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______
14. 若，则的值为______．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______

16. 如图，是等边三角形，点E为上一点，过点E的直线交于点F，交的延长线于点D，作于点G．若，则的长为______．（用含m的代数式表示）
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
19. 如图，，．求证：平分．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 某校团委会开展“科技改变未来”为主题的科技活动日，拟安排五场科技专题报告，每场专题报告时长均为90分钟，具体内容为：A．数学与生活；B．人工智能：C．科技与创新；D．AI与生活；E．理化前沿．为全面了解学生的参与意向（每个学生有且只能参与一场活动），团委会委托数学项目式学习小组对全校学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且都有效，并根据调查数据绘制成如图1、图2的两幅不完整的统计图．
“科技改变未来”科技活动日安排表
请结合统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数和该学校的学生总人数；
（2）请在图1中补全条形统计图；
（3）学校团委会打算将专题报告的地点安排在多媒体教室和录播教室，相关信息如“活动日安排表”所示，其中A和C两场报告时间与场地已经确定．在确保听报告的每个同学都有座位的情况下，请你帮助项目组将B，D，E三场报告的场地合理安排在“活动日程表”中的①，②，③处（写出一种方案即可），并说明理由．
22. 如图，已知．
（1）尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接．请将图形补画完整，并求证：．
23. 如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务：
（1）任务一：在每千米道路造价相同前提下，试说明道路设计方案的成本最低；
（2）任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米．
24. 某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：
在长方形中，长为，长为，且．
（1）若该长方形的周长为，面积为，求的值；
（2）若a，b满足，求的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长．
25. 如图，在中，，，线段，是由线段绕点D顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若点M是中点，连接，，求证：．
2024年秋石狮市初中期末质量抽测试卷
八年级 数学
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 25的平方根是（ ）
A. 5B. -5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．
【详解】解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，幂的运算法则，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，根据幂的运算法则和单项式乘以单项式进行计算即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A. 9B. 7C. 12D. 9或12
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形周长为．
故选：C．
4. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的判定定理“”解答即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
此方案依据的数学定理或基本事实是“”，
故选：A．
5. 某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）

A. 95分的人数最多B. 最高分与最低分的差是15分
C. 参赛学生人数为8人D. 最高分为100分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查折线统计图数据分析．根据折线统计图对选项中得信息一一判断即可．
【详解】解： A、从统计图可以得出95分的人数最多，为5人，故本选项不符合题意；
B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意
C、从统计图可以得出参赛学生人数共有人，故本选项符合题意；
D、从统计图可以得出最高分为分，本选项不符合题意．
故选C．
6. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立．
直接利用反证法的第一步分析得出答案即可．
【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立
第一步应先假设，
故选：B．
7. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、，，
，故A不符合题意；
B、，，
，故B符合题意；
C、，
，
，故C不符合题意；
D、，
，不能判定为直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
8. 如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
，
的面积，
故选：C．
9. 如图，在中，点M，N为边上的两点，， 于点D，且，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，由此得出答案即可．
【详解】解：如图，满足条件的格点共个，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 整数满足，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算出的整数部分是1，的整数部分是2，结合题意即可确定a的值是2．
【详解】解：∵，，
∴的整数部分是1，的整数部分是2，
又∵整数满足，
∴a的值是2
故答案为：2．
12. 等角对等边的逆命题是____________________________.
【答案】等边对等角
【解析】
【详解】试题解析：等角对等边的逆命题是等边对等角.
故答案为等边对等角.
点睛：逆命题就是交换原命题的题设和结论即可.
13. 某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下：
根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可．
【详解】解：由表中知，共有（人），
其中八年级女生立定跳远距离不低于的有6人，
则该班女生立定跳远成绩的优秀率为，
故答案为：．
14. 若，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算：，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变指数相减的性质的逆用解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______

【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查了旋转、等边对等角、三角形内角和定理等知识．根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：
16. 如图，是等边三角形，点E为上一点，过点E直线交于点F，交的延长线于点D，作于点G．若，则的长为______．（用含m的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质．过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案．
【详解】解：过E作，
∵等边三角形，，
，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先根据绝对值的意义，立方根的定义和算术平方根的定义化简，然后根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解题的关键．
（1）运用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再运用公式法因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，，．求证：平分．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的判定，由证明，由全等三角形的判定以及性质可得出，根据角平分线的定义即可证明．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴平分．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，求代数的值，先根据平方差公式、多项式乘以多项式法则，合并同类项法则以及多项式除以单项式法则化简，然后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 某校团委会开展“科技改变未来”为主题的科技活动日，拟安排五场科技专题报告，每场专题报告时长均为90分钟，具体内容为：A．数学与生活；B．人工智能：C．科技与创新；D．AI与生活；E．理化前沿．为全面了解学生的参与意向（每个学生有且只能参与一场活动），团委会委托数学项目式学习小组对全校学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且都有效，并根据调查数据绘制成如图1、图2的两幅不完整的统计图．
“科技改变未来”科技活动日安排表
请结合统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数和该学校的学生总人数；
（2）请在图1中补全条形统计图；
（3）学校团委会打算将专题报告地点安排在多媒体教室和录播教室，相关信息如“活动日安排表”所示，其中A和C两场报告时间与场地已经确定．在确保听报告的每个同学都有座位的情况下，请你帮助项目组将B，D，E三场报告的场地合理安排在“活动日程表”中的①，②，③处（写出一种方案即可），并说明理由．
【答案】（1）扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数为，该学校的学生总人数为人；
（2）见解析 （3）D、E、B或E、D、B，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了统计表、条形统计图和扇形统计图的关联，明确题意，正确计算是关键．
（1）用乘以对应的百分比即可得到所对应扇形的圆心角的度数，用E组的人数除以对应的占比即可求出总人数；
（2）求出A、B、C、D的人数即可补全统计图；
（3）根据B、D、E的人数，再结合两个地点可容纳的人数即可写出答案．
【小问1详解】
解：，
（人），
答：扇形统计图中“E”场报告所对应扇形的圆心角的度数为，该学校的学生总人数为人；
【小问2详解】
选A的人数为（人），
选B的人数为（人），
选C的人数为（人），
选D的人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
①、②、③处分别为D、E、B或E、D、B，
理由是：参加B、D、E三场报告的学生人数分别为人、人、人；
∵，多媒体教室（200座），录播室（100座），
∴B只能安排在教室厅，D、E安排在多媒体教室（顺序可以交换），
故答案为：D、E、B或E、D、B
22. 如图，已知．
（1）尺规作图：在边上求作一点D，使得点D到，两边的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若为等边三角形，延长至点E，使，连接．请将图形补画完整，并求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据点D到，两边的距离相等得出点D在的平分线上，故作的平分线交于点D即可；
（2）根据三线合一的性质求出，根据等边对等角和三角形外角的性质求出，最后根据等角对等边即可得证．
【小问1详解】
解：点D即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
由（1）知平分，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务：
（1）任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低；
（2）任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，即，
根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，，
∴，
解得，
，
∴修建后的路线比原来的路线缩短了．
24. 某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：
在长方形中，长为，长为，且．
（1）若该长方形的周长为，面积为，求的值；
（2）若a，b满足，求的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长．
【答案】（1）
（2）
（3）和的长分别为，．
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）由完全平方公式得到，利用整体代入求值即可；
（2）根据题意得到，，利用乘法公式即可得到答案；
（3）根据题意得到，，即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵长为，长为，且．长方形的周长为，面积为，
∴，
即，
∴
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴
【小问3详解】
∵图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，长方形水池的长为，宽为，
∴
，
则
∴，
∵长方形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
即和的长分别为，．
25. 如图，在中，，，线段，是由线段绕点D顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若点M是的中点，连接，，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，，结合垂直定义，可求出，最后根据平行线的判断即可得证；
（2）过E作于H，证明，得出，，结合已知可求出，在中，根据勾股定理求出，然后在中，根据勾股定理求解即可；
（3）延长交于N，连接，，根据证明，得出，，再根据证明，得出，最后根据三线合一的性质证明即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是由线段绕点D顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过E作于H，
则，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：延长交于N，连接，，
∵，
∴，
∴，
又M是中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
距离x（）
频数
1
6
7
5
1
地点
时间
多功能厅（200座）
录播教室（100座）
8：00－9：30
C
设备检修
10：00－11：30
①
A
14：00－15：30
②
③
距离x（）
频数
1
6
7
5
1
地点
时间
多功能厅（200座）
录播教室（100座）
8：00－9：30
C
设备检修
10：00－11：30
①
A
14：00－15：30
②
③