2024-2025学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷（含详解），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）64的立方根是（ ）
A．4B．2C．8D．﹣4
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6B．a3﹣a2＝a
C．a3•a4＝a12D．a4÷a3＝a
3．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点B为中心，将△ABC旋转到△DBE，使点E恰好在AB上，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
6．（3分）如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（ ）人．
A．140B．120C．70D．60
7．（3分）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等
8．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1B．1.5C．3D．2
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
10．（3分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．20B．12C．24D．25
二、填空题（每小题3分，共15分．）
11．（3分）比较大小：5 2．（填“＜”或“＞”）
12．（3分）把多项式x2﹣25x分解因式的结果是 ．
13．（3分）请写出定理“等边对等角”的逆定理： ．
14．（3分）如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG为等腰三角形时，∠BAD＝ ．
三、解答题（本题含8个小题，共75分．）
16．（10分）计算：
（1）5−4−3−827；
（2）（x﹣3）（x+2）﹣6（x﹣1）．
17．（9分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD；
（2）作∠CAD的角平分线AF，交CD于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）AF与CD的关系是 ．（直接写出结论）
18．（9分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y+x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1．
19．（9分）笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km．
（1）判断△BCG的形状，并说明理由；
（2）求原路线GA的长．
20．（9分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为赞成、无所谓、反对）（每人必选且只选一种），并将调查结果绘制成图①和图②两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）将图1补充完整；
（3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数为 ；
（4）结合自己的学习习惯和做法，你有什么感想？
21．（9分）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为∠AOB的平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形．
（1）基本运用：如图（2），把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，重合部分的△ACE是等腰三角形吗？为什么？
（2）解决问题：如图（3），在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分∠BAD，连接BE．求证：AE⊥BE．
22．（10分）认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
（1）请写出：
算式⑤ ；
算式⑥ ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n+3（n为整数），请说明这个规律是成立的．
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由，若不成立，请举出反例．
2024-2025学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．）
1．（3分）64的立方根是（ ）
A．4B．2C．8D．﹣4
【解答】解：∵43＝64，
∴64的立方根是4，即364=4，
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6B．a3﹣a2＝a
C．a3•a4＝a12D．a4÷a3＝a
【解答】解：（2a2）3＝8a6，
∴A不正确，不符合题意；
a3与a2不是同类项，无法合并，
∴B不正确，不符合题意；
a3•a4＝a7，
∴C不正确，不符合题意；
a4÷a3＝a，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
3．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点B为中心，将△ABC旋转到△DBE，使点E恰好在AB上，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10，
由旋转知，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
故选：B．
4．（3分）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD和△C′O′D′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
则∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为50cm，
即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，
故选：C．
6．（3分）如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（ ）人．
A．140B．120C．70D．60
【解答】解：其中成绩在80分以下的学生有：10+50＝60（人）．
故选：D．
7．（3分）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等
【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选：A．
8．（3分）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．1B．1.5C．3D．2
【解答】解：∵正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，
∴OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OB=12+12=2，
∴这个点表示的实数是2，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC=12×6×6=18，
在△ADE和△CDF中，
AD=CD∠BAD=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴四边形AEDF的面积=S△ADC=12S△ABC=9，
故选：C．
10．（3分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．20B．12C．24D．25
【解答】解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，
∴a2+b2＝13，
∴四个全等的三角形的面积为S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，
∴12ab×4=12，
解得，ab＝6，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+2×6＝25，
∴（a+b）2的值是25，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分．）
11．（3分）比较大小：5 ＞ 2．（填“＜”或“＞”）
【解答】解：∵2=4，
又∵5＞4，
∴5＞2，
故答案为：＞．
12．（3分）把多项式x2﹣25x分解因式的结果是 x（x﹣25） ．
【解答】解：直接提取公因式x可得：
x2﹣25x＝x（x﹣25），
故答案为：x（x﹣25）．
13．（3分）请写出定理“等边对等角”的逆定理： 等角对等边 ．
【解答】解：逆定理是“等角对等边”．
故答案为：等角对等边．
14．（3分）如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 32 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，DC⊥BC，
如图，过D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴DC＝DE，
设DC＝DE＝x，
∵S△BCD+S△ABD＝S△ABC，
∴12BC•DC+12AB•DE=12AC•BC，
即12×3x+12×5x=12×4×3，
解得：x=32，
即DC的长为32，
故答案为：32．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG为等腰三角形时，∠BAD＝ 40°，32.5°或25° ．
【解答】解：设∠BAD＝θ，
∵AB＝AC，∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝25°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝25°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC∠FAG=∠CAGAG=AG，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°．
①当GD＝GF时，
∴∠GDF＝∠GFD＝50°．
∵∠ADG＝25°+θ，
∴25°+50°+25°+θ+θ＝180°，
∴θ＝40°．
②当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝50°，
∴∠FDG＝∠FGD＝65°．
∴25°+65°+25°+2θ＝180°，
∴θ＝32.5°．
③当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝50°，
∴∠GDF＝80°，
∴80°+25°+2θ+25°＝180°，
∴θ＝25°．
∴当θ＝40°，32.5°或25°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：40°，32.5°或25°．
三、解答题（本题含8个小题，共75分．）
16．（10分）计算：
（1）5−4−3−827；
（2）（x﹣3）（x+2）﹣6（x﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝5﹣2+23
=113；
（2）原式＝x2+2x﹣3x﹣6﹣6x+6
＝x2﹣7x．
17．（9分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD；
（2）作∠CAD的角平分线AF，交CD于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）AF与CD的关系是 AF⊥CD ．（直接写出结论）
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图，作∠CAD的角平分线AF，交CD于点F，即分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点G，
作射线AG交CD于点F，AF即为所求作；
（3）解：∵AC＝AD，∠CAF＝∠DAF，
∴AF⊥CD．
故答案为：AF⊥CD．
18．（9分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y+x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷（2x）
＝（﹣2x2﹣2xy）÷（2x）
＝﹣x﹣y，
当x＝1，y＝﹣l时，
原式＝﹣1﹣（﹣1）＝0．
19．（9分）笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km．
（1）判断△BCG的形状，并说明理由；
（2）求原路线GA的长．
【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下：
∵BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km，
∴42+32＝52，
∴GC2+BC2＝BG2，
∴△BCG是直角三角形；
（2）∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离，
∴AG＝AB，
∵由（1）易知△ACG是直角三角形，
设AG＝AB＝x（km），则AC＝（x﹣3）km，
在Rt△ACG中，AC＝（x﹣3）km，GA＝x（km），GC＝4km，
∵AC2+GC2＝GA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得：x=256，
∴GA=256km．
20．（9分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为赞成、无所谓、反对）（每人必选且只选一种），并将调查结果绘制成图①和图②两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）将图1补充完整；
（3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数为 36° ；
（4）结合自己的学习习惯和做法，你有什么感想？
【解答】解：（1）130÷65%＝200（名），
答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）反对的人数为：200﹣130﹣50＝20（名），
（3）由题意可得：
20200×360°=36°；
故答案为：36°；
（4）做题遇到困难时，上网查找答案，方便，快捷，能助力学习．
21．（9分）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为∠AOB的平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形．
（1）基本运用：如图（2），把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，重合部分的△ACE是等腰三角形吗？为什么？
（2）解决问题：如图（3），在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，且AE平分∠BAD，连接BE．求证：AE⊥BE．
【解答】解：（1）△AEC是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
由题意可得：∠BAC＝∠EAC，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴AE＝CE，
∴△AEC是等腰三角形；
（2）如图所示，延长AE交BC延长线于点F，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE，∠D＝∠ECF，
由题意可得：∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∵DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∠ADE=∠FCE∠DAE=∠CFEDE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF，
∴BE⊥AE．
22．（10分）认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
（1）请写出：
算式⑤ 112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5 ；
算式⑥ 132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n+3（n为整数），请说明这个规律是成立的．
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由，若不成立，请举出反例．
【解答】解：（1）根据题意，可得算式⑤112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5，
算式⑥132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6．
故答案为：112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6；
（2）由题意可得，
（2n+3）2﹣（2n+1）2＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）＝（4n+4）×2＝8n+8＝8（n+1），
∵8（n+1）能被8整除，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除，成立；
（3）设两个连续的偶数为2n和2n+2，
（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝8n+4，
∵8n+4不能被8整除，
∴两个连续偶数的平方差不能被8整除，不成立．
算式①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8＝8×1，
算式②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16＝8×2，
算式③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24＝8×3，
算式④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32＝8×4，
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
C
D
A
D
C
D
算式①32﹣12＝（3+1）×（3﹣1）＝8＝8×1，
算式②52﹣32＝（5+3）×（5﹣3）＝16＝8×2，
算式③72﹣52＝（7+5）×（7﹣5）＝24＝8×3，
算式④92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32＝8×4，
…