2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河南省南阳市方城县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某种新冠病毒的直径约为纳米，已知纳米毫米，纳米用科学记数法表示为(    )

A. 毫米 B. 毫米
C. 毫米 D. 毫米

3. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. ．

4. 如图，，分别是▱的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某次文艺汇演中若干名评委对九班节目给出评分，在计算中去掉一个最高分和最低分．这种操作，对数据的下列统计量一定不会影响的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6. 如图，▱中，，为锐角要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案(    )

A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是

7. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作，，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

8. 如图，点，是▱对角线上两点，在条件；；； 中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到延长交于点，连接下列结论：，四边形是正方形，若，则；其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算：______．
12. 关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．
13. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为，则______．

14. 如图，四边形是正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是______．

15. 已知一次函数的图象如图，那么关于的不等式的解集是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：．
    先化简，再求值：，其中．
17. 如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．
    求证：≌；
    填空：可以由绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
    若，，求的面积．

18. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了次测验，成绩如下：单位：分

回答下列问题：
甲学生成绩的众数是______分，乙学生成绩的中位数是______分；
若甲学生成绩的平均数是，乙学生成绩的平均数是，则与的大小关系是______；
经计算知：，，这表明______；用简明的文字语言表述
若测验分数在分含分以上为优秀，则甲的优秀率为______；乙的优秀率为
______．

19. 某校计划一次性购买排球和篮球，每个篮球的价格比排球贵元；购买个排球和个篮球共需元．
    求每个排球和篮球的价格：
    若该校一次性购买排球和篮球共个，总费用不超过元，且购买排球的个数少于个．设排球的个数为，总费用为元．
    求关于的函数关系式，并求可取的所有值；
    在学校按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少？
20. 如图，直线：经过点．
    求直线的解析式．
    将直线向上平移个单位得到直线，再作直线关于轴的对称直线．
    求直线和直线与轴相交的两交点之间的距离．
    过轴上点作平行于的轴的直线，当，，围成的区域内有三个整数点横纵坐标都是整数的点，不包括边界上的点时，请直接写出的取值范围．

21. 如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使
    求证：；
    求证：；
    若，，求的长．

22. 学了函数及其图象知识后，小明所在的“奋进号”数学兴趣小组尝试用函数方法研究动点到定点的距离问题．
    在研究一个动点到定点的距离时，小明发现：
    当动点在数轴上从负半轴向正半轴运动时，点到点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，其到点的距离也唯一确定；
    小明用描点法画出关于的函数图象如右，
    并求得函数关系式
    借助小明的研究经验，解决下列问题：
    当______时，动点到定点的距离取最小值；
    设动点到两个定点，的距离和为．
    
    在给出的坐标系中画出关于的函数图象；
    仿小明的方法直接写出与之间的函数关系式；
    观察图象，当时，点的坐标是______；
    观察图象，当时，的取值范围是______．

23. 已知正方形，点，分别是边，上的动点．
    如图，点，分别是边，上的中点，证明；
    如图，若正方形的边长为，的周长为．
    试证明；
    请你进一步探究图形的其它重要性质，并将如下，，，四个结论中，正确的代号直接填写在横线上不必写出推理过程：______．
    A.一定是等腰三角形．
    B.．
    C.中，边上的高为定值．
    D.的面积存在最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式的乘除，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“”中的式子可能是含的单项式．
根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
【解答】
解：，
运算的结果为整式，
“”中的式子可能是含的单项式．  

2.【答案】 

【解析】解：纳米毫米毫米毫米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象可知，
当时，，
故选：．
根据题目中的函数图象，可以直接写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
，
将四边形沿翻折，得到，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、方差及众数的意义，难度不大．
根据平均数、中位数、方差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到方差，可能会影响到平均数、众数，
一定不会影响到中位数，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：方案甲中，连接，如图所示：
四边形是平行四边形，为的中点，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，方案丙正确；
故选：．
方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证≌，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证≌，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，，，
四边形、是平行四边形，
在和中
，
≌，
即和的面积相等；
同理和的面积相等，和的面积相等，
四边形和四边形的面积相等，
即．
故选A．
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证≌，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出和的面积相等，和的面积相等，和的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
 

8.【答案】 

【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，
不能证明对角线互相平分，只有可以，
故选：．
若四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有可以．
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设交于，如图：

四边形是正方形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，故正确；
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故正确；
如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
，故正确；
正确的有：，
故选：．
设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断正确．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接交于，延长交轴于，连接、，如图：

四边形是正方形，
，
设，，
轴，
，，
，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，
；
故选：．
连接交于，延长交轴于，连接、，设，，根据轴，可得，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得．
本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用零指数幂及负整数指数幂对式子进行运算即可．
本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是熟记非实数的次幂的值为．
 

12.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解以及解不等式，掌握分式的分母不为是解题的关键．先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意．
【解答】

解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
方程的解是正数，
，且，
解得：且，
故答案为：且．

13.【答案】 

【解析】解：是的中点，的面积为，
的面积为，
轴，
，
，
．
故答案为：．
由是的中点推出，则，所以，因此．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，

≌，，
阴影部分的面积，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：一次函数经过点，
，
．
将代入，
得，
去括号得：，
移项、合并同类项得：；
函数值随的增大而减小，
；
将不等式两边同时除以，得．
故答案为：
根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

16.【答案】解：


；




，
当原式． 

【解析】先化简二次根式和绝对值，再计算零次幂，最后加减；
先化简分式，然后将的值代入求值即可．
本题考查了实数的混合运算与分式的化简求值，掌握二次根式的性质和零次幂的意义是解决本题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

17.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中，
≌；
 ，；
解四边形是正方形，，
，
在中，，，
，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到，
≌，
，，
的面积 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中，
≌；

解：≌，
，
而，
，即，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到；
故答案为、；

解四边形是正方形，，
，
在中，，，
，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到，
≌，
，，
的面积．
根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得≌；
由于≌得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到；
先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转 度得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识点，解决本题的关键是明确可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到，即≌．
 

18.【答案】     甲的成绩稳定     

【解析】解：甲学生成绩中分出现次数最多，所以众数为分；
乙学生成绩从低到高排列为：、、、、、、、、、，
则中位数为；

甲学生成绩的平均数，
乙学生成绩的平均数，
则；

甲学生的方差更小，
甲学生的成绩更稳定；

甲的优秀率，
乙的优秀率．
根据众数、中位数、平均数、方差、优秀率的概念计算．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

19.【答案】解：设每个排球的价格是元，每个篮球的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
所以每个排球的价格是元，每个篮球的价格是元；
，
由题意可得：，
解得：，
取整数，所以，，，，；
，随的增大而减小，
当时，最小元． 

【解析】根据每个篮球的价格比排球贵元；购买个排球和个篮球共需元列出方程组，解方程组即可；
根据题意列出函数关系式即可；
根据购买排球和篮球共个，总费用不超过元，且购买排球的个数少于个列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入，可得，
解析式为；

由题意，直线的解析式为，直线的解析式为，
与轴的交点为，，
直线和直线与轴相交的两交点之间的距离为；
如图，观察图象可知，当或时，满足条件．
 

【解析】利用待定系数法求出即可；
求出直线，直线的解析式，再求出直线与轴的交点坐标即可解决问题；
利用图象法判断即可．
本题考查作图轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，理解题意，学会利用图象法解决问题．
 

21.【答案】证明：于，
，
，

，

证明：过点作于点，如图所示
，，
，
在和中，

，
，，
在中，，

，
，
；

解：在中，，
，
，
由可知，，
，，
，
在中，． 

【解析】根据同角的余角相等即可证明；
过点作于点，根据已知条件可证明≌，所以，，又因为，所以可得，进而证明；
在中，利用勾股定理求出和，求出，利用的结论和已知条件、，在再次利用勾股定理即可解决问题；
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高．
 

22.【答案】  ，   

【解析】解：图象如右图；
根据题意，得与的关系为：，
根据图象，当时，即图象上纵坐标为的点有两个，
分别对应的值为，，故的坐标是，；
根据图象，当时，即图象上纵坐标为的点有两个，
分别对应的值为，，故时，的取值范围就是．
画图象，就得要知道函数关系式，所以先根据题意，分三种情况求得与的关系式，注意取值范围．然后分段画图；
根据的分析，即得关系式为：；
给出的值，就得从纵坐标轴上找，找到对应的值，得到点的坐标；
给出的值的范围，就要从纵坐标轴上找到范围，然后在轴上找出相应的范围．
本题考查的是列函数关系式，关键要区分在每段内，距离要么加绝对值，要么用右边的数减去左边的数，我建议还是用右边的数减去左边的数．对于找取值或范围的问题，一定要看图，根据图象来找．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
点，分别是边，上的中点，
，，
，
在和中，
，
和，
；
如图，延长至，使，
四边形是正方形，
，，
，
即，
的周长为，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图，设，则，，
，
，
解得：，
在中，，
，
，
不一定是等腰三角形，
故结论不正确；
由知，，
故结论B正确；
由知，≌，
边上的高边上的高，
故结论C正确；
如图，连接，延长至，延长至，使，
连接，交于点，交于点，
则，，
，
由勾股定理得：，
又，
，
根据可知，
此时，最小，即的面积存在最小值，
故结论D正确；
故答案为：．
根据正方形性质及中点定义可得，，，，进而得出，利用证得和，即可得出结论；
延长至，使，如图，根据正方形性质得出，根据的周长为，得出，可得，利用证明≌，得出，再证明≌，即可证得结论；
如图，设，则，，得出，，，可判断不正确，由可判断、C正确，如图，连接，延长至，延长至，使，连接，交于点，交于点，证得，得出，此时，最小，即的面积存在最小值，可判断D正确．
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．