2023-2024学年四川省资阳市安岳县八年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2023-2024学年四川省资阳市安岳县八年级（上）期末数学试卷（含详解），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）3的平方根是（ ）
A．9B．3C．−3D．±3
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m4﹣2m2＝m2B．m6÷m3＝m2
C．12m2⋅2m=m3D．（3m3）3＝9m6
3．（4分）小丽抛一枚硬币10次，其中有6次正面朝上，则反面朝上的频数是（ ）
A．6B．0.6C．4D．0.4
4．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．3C．5D．5
5．（4分）计算(33)9×(13)29正确的是（ ）
A．13B．19C．127D．16
6．（4分）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于2+1的是（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点A和点C
7．（4分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝118°，则∠AHD的度数为（ ）
A．31°B．62°C．118°D．149°
8．（4分）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．则a+b的值为（ ）
A．±4B．4C．±2D．2
9．（4分）下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②③④
10．（4分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP的延长线与边AD交于点F，连结CQ．以下结论：①AP＝CQ；②∠APF＝∠CBQ；③BE＝BP；④PF＝EQ．则正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。）
11．（4分）在﹣4，0.101001，227，−2这四个数中，无理数有 个．
12．（4分）某班50名学生的身高被分为5组，第一、二、三、四组的频数分别为7、12、13，8，则第五组的频数为 ．
13．（4分）定义一种新的运算a⊗b＝ab﹣b2，如5⊗4＝5×4﹣42＝4．则（2x+y）⊗（x﹣2y）＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，连结CE，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝27°，那么∠BCE的度数是 ．
15．（4分）可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些恒等式，下列三个恒等式：①a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；②（a+b）2＝a2+2ab+b2；③（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由图中空白部分的正方形面积的计算可验证的恒等式是 ．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分。）
17．（9分）（1）计算：−36+214−3−827÷(13)2；
（2）因式分解：a2b﹣2ab+b．
18．（10分）化简求值：[（a﹣2b）2+（a+2b）（2b﹣a）﹣4b（a+b）]÷（﹣2b），其中a=12，b＝﹣2．
19．（10分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．某市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）在扇形统计图中，求“交通劝导”对应的圆心角度数；
（3）该校共有2000名师生，若有75%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“清洁卫生”项目的师生人数．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DCE的度数．
21．（11分）若（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）⋯（a64+1）+1的值．
22．（11分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
23．（12分）阅读材料1：若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a、b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，5＝32﹣22叫做5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”．
（1）在7和2中是“风月同天数”的是 ；
（2）已知M＝x2﹣y2+10x﹣8y+k（x、y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由；
（3）对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解．
24．（13分）如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年四川省资阳市安岳县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分。）
1．（4分）3的平方根是（ ）
A．9B．3C．−3D．±3
【解答】解：∵（±3）2＝3，
∴3的平方根±3．
故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3m4﹣2m2＝m2B．m6÷m3＝m2
C．12m2⋅2m=m3D．（3m3）3＝9m6
【解答】解：A、3m4与﹣2m2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、m6÷m3＝m3，故此选项不符合题意；
C、12m2⋅2m=m3，故此选项符合题意；
D、（3m3）3＝27m9，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）小丽抛一枚硬币10次，其中有6次正面朝上，则反面朝上的频数是（ ）
A．6B．0.6C．4D．0.4
【解答】解：小丽抛一枚硬币10次，6次正面朝上，4次反面朝上，则正面朝上的频数是6，反面朝上的频数是4．
故选：C．
4．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：B．
5．（4分）计算(33)9×(13)29正确的是（ ）
A．13B．19C．127D．16
【解答】解：原式＝327×（13）29
＝（3×13）27×（13）2
＝1×19
=19．
故选：B．
6．（4分）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于2+1的是（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点A和点C
【解答】解：∵1＜2＜2．
∴2＜2+1＜3．
AB＝﹣1﹣（﹣2.5）＝1.5，BC＝1﹣（﹣1）＝2、CD＝3.5﹣1＝2.5、AC＝1﹣（﹣2.5）＝3.5．
2+1−2=2−1，2+1−2.5=2−1.5，
而2−1﹣（2−1.5）＝0.5＞0，
∴2+1与CD间的距离小于其与BC间的距离，
故2+1最接近的是点C和点D之间的距离．
故选：C．
7．（4分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝118°，则∠AHD的度数为（ ）
A．31°B．62°C．118°D．149°
【解答】解：由作图可知AH平分∠CAB，
∴∠CAB＝∠HAB，
∵CD∥AB，
∴∠AHC＝∠BAH，
∴∠CAH＝∠CHA，
∵∠C＝118°，
∴∠CAH＝∠CHA=12（180°﹣118°）＝31°，
∴∠AHD＝180°﹣31°＝149°．
故选：D．
8．（4分）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．则a+b的值为（ ）
A．±4B．4C．±2D．2
【解答】解：∵a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．
两式相加得：
∴a2+2ab+b2＝16．
∴（a+b）2＝16．
∴a+b＝±4．
故选：A．
9．（4分）下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②③④
【解答】解：①“相等的角是对顶角”是假命题，说法正确，符合题意；
②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是若两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等，是假命题，原命题说法正确，符合题意；
③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，符合题意；
④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°或120°，故原命题说法错误，不符合题意．
其中说法正确的有①②③，
故选：A．
10．（4分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP的延长线与边AD交于点F，连结CQ．以下结论：①AP＝CQ；②∠APF＝∠CBQ；③BE＝BP；④PF＝EQ．则正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠ABC＝∠PBQ．
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，
AB=CB∠ABP=∠CBQBP=BQ，
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴CQ＝AP，
故①正确；
②∵∠PBQ＝90°，BP＝BQ，
∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠BQP，
∵∠PEC＝∠BEQ，
∴∠CPQ＝∠CBQ，
∵∠APF＝∠CPQ，
∴∠APF＝∠CBQ，
故②正确；
③∵∠BEP＞∠BQE，∠BQE＝∠BPQ，
∴∠BEP＞∠BPQ，
∴BP＞BE，
故③错误；
④在CE上截取CH＝AF，
∵∠PAF＝∠BAP＝∠BCQ，AP＝CQ，
∴△APF≌△CQH（SAS），
∴PF＝QH，∠AFP＝∠CHQ，
∵AD∥BC，
∴∠AFP＝∠CEP，
∴∠QEH＝∠QHE，
∴QE＝QH，
∴PF＝EQ，
故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。）
11．（4分）在﹣4，0.101001，227，−2这四个数中，无理数有 1 个．
【解答】解：无理数有：−2，共1个，
故答案为：1．
12．（4分）某班50名学生的身高被分为5组，第一、二、三、四组的频数分别为7、12、13，8，则第五组的频数为 10 ．
【解答】解：由题意得：50﹣（7+12+13+8）
＝50﹣40
＝10，
∴第五组的频数为10，
故答案为：10．
13．（4分）定义一种新的运算a⊗b＝ab﹣b2，如5⊗4＝5×4﹣42＝4．则（2x+y）⊗（x﹣2y）＝ x2+xy﹣6y2 ．
【解答】解：由题意得：（2x+y）⊗（x﹣2y）＝ （2x+y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2
＝2x2﹣4xy+xy﹣2y2﹣x2+4xy﹣4y2
＝x2+xy﹣6y2，
故答案为：x2+xy﹣6y2．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，连结CE，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝27°，那么∠BCE的度数是 31° ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠CBD＝∠BCE，
∵∠BAC＝60°，∠ACE＝27°，
∴∠ABD+∠CBD+∠BCE＝180°﹣60°﹣27°＝93°，
∴∠BCE=13×93°＝31°．
故答案为：31°．
15．（4分）可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些恒等式，下列三个恒等式：①a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；②（a+b）2＝a2+2ab+b2；③（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由图中空白部分的正方形面积的计算可验证的恒等式是 ③ ．
【解答】解：图形中空白部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，
空白部分也可以看作从边长为a的大正方形中剪去两个长为a，宽为b的长方形，再加上边长为b的小正方形，因此a2﹣2ab+b2，
所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：③．
16．（4分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为202+152=25（尺）．
故答案为：25．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分。）
17．（9分）（1）计算：−36+214−3−827÷(13)2；
（2）因式分解：a2b﹣2ab+b．
【解答】解：（1）−36+214−3−827÷(13)2
＝﹣6+94−(−23)÷19
＝﹣6+32−(−23)×9
＝﹣6+32−(−6)
＝﹣6+32+6
=32；
（2）a2b﹣2ab+b
＝b（a2﹣2a+1）
＝b（a﹣1）2．
18．（10分）化简求值：[（a﹣2b）2+（a+2b）（2b﹣a）﹣4b（a+b）]÷（﹣2b），其中a=12，b＝﹣2．
【解答】解：[（a﹣2b）2+（a+2b）（2b﹣a）﹣4b（a+b）]÷（﹣2b）
＝（a2﹣4ab+4b2+4b2﹣a2﹣4ab﹣4b2）÷（﹣2b）
＝（﹣8ab+4b2）÷（﹣2b）
＝4a﹣2b，
当a=12，b＝﹣2时，原式＝4×12−2×（﹣2）＝2+4＝6．
19．（10分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．某市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 300 人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）在扇形统计图中，求“交通劝导”对应的圆心角度数；
（3）该校共有2000名师生，若有75%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“清洁卫生”项目的师生人数．
【解答】解：（1）60÷20%＝300（人），
样本中参加“文明宣传”的学生人数为300﹣60﹣120﹣30＝90（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）360°×30300=36°，
答：在扇形统计图中，“交通劝导”对应的圆心角度数为36°；
（3）2000×75%×60300=300（人），
答：该校2000名师生，若有75%的师生参加志愿者服务，参加“清洁卫生”项目的师生人数大约有300人．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DCE的度数．
【解答】（1）解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
∠BAD=∠D∠ACB=∠DCEBC=CE，
∴△ACB≌△DCE（ AAS），
∴AC＝CD；
（2）解：∵AC＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠D＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAD＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝22.5°．
21．（11分）若（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）⋯（a64+1）+1的值．
【解答】解：（1）（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）
＝x3﹣2ax2﹣4bx+4x2﹣8ax﹣16b
＝x3+（4﹣2a）x2+（﹣4b﹣8a）x﹣16b，
∵（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项，
∴4﹣2a＝0，﹣4b﹣8a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ba＝（﹣4）2＝16；
（2）由（1）可知a＝2，
∴（a+1）（a2+1）（a4+1）⋯（a64+1）+1
＝（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）...（264+1）+1
＝（28﹣1）...（264+1）+1
＝（264﹣1）（264+1）+1
＝2128﹣1+1
＝2128．
22．（11分）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300米，BC＝400米，
∴AB=AC2+BC2=3002+40029002+12002=500（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∵S△ABC=12AB•CD=12BC•AC，
∴CD=AC⋅BCAB=300×400500=240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC＝FC＝250米，
∴ED=2502−2402
＝70（米），
故EF＝140米，
则需要封锁的路段长度为140米．
23．（12分）阅读材料1：若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a、b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，5＝32﹣22叫做5的平方差分解．
阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”．
（1）在7和2中是“风月同天数”的是 7 ；
（2）已知M＝x2﹣y2+10x﹣8y+k（x、y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由；
（3）对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解．
【解答】解：（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下：
∵7＝42﹣32
∴7是“风月同天数”，
故答案为：7；
（2）M是“风月同天数”，
∵M＝x2﹣y2+10x﹣8y+k＝（x+5）2﹣（y+4）2＝x2﹣y2+10x﹣8y+9
∴k＝9．
故答案为：9；
（3）根据题意得：N＝191或N＝292，当N＝191时，设N＝a2﹣b2，a，b均为正整数，且a＞b，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝191＝191×1，
a+b＝191，a﹣b＝1，
解得a＝96，b＝95，
则N＝191＝962﹣952；
当N＝292时，设N＝a2﹣b2，a，b均为正整数，且a＞b，
所以a+b＞a﹣b，
则（a+b）（a﹣b）＝292＝292×1＝146×2＝73×4，
若a+b＝292，a﹣b＝1，
解得a=2932，b=2912，
则a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在；
若a+b＝146，a﹣b＝2，
解得a＝74，b＝72，
则a，b是正整数，符合题意，N＝292＝742﹣722，
若a+b＝73，a﹣b＝4，
解得a=772，b=692，
则a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在；，
综上所述：N的所有平方差分解为：N＝191＝962﹣952或N＝292＝742﹣722，因此，96与95是N的平方差分解；74与72是N的平方差分解．
24．（13分）如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AE＝BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴∠ABE＝∠BCP，
∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；
（2）①△EDB≌△CDQ，证明如下：
∵将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝120°，
∴∠DCQ＝120°﹣∠ACP＝120°﹣（∠ACB﹣∠BCP）＝60°+∠BCP，
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE＝∠BCP，BE＝CP
∴∠DCQ＝60°+∠ABE，CQ＝BE，
∵∠BED＝∠A+∠ABE＝60°+∠ABE，
∴∠DCQ＝∠BED，
在△EDB和△CDQ中，
∠BDE=∠QDC∠BED=∠QCDBE=CQ，
∴△EDB≌△CDQ（AAS）；
②BC＝BP+2CD，理由如下：
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴BP＝AE，
由①知△EDB≌△CDQ，
∴ED＝CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，
∵AC＝AE+ED+CD，
∴BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
B
D
A
A
B