安徽省合肥市庐江县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省合肥市庐江县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1. 在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 心想事成，完美B. 煮熟的鸭子，飞了C. 瞄准射击，打中D. 一天24小时，永恒
4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A. 15B. 12C. 10D. 8
8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知二次函数图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若是方程的根，则代数式的值是_____．
12. 为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是_____．
13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）．
14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为_____；
（2）在滑动过程中，最大值是_____．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：(x+1)2=3(x+1)
16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A、B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数解析式；
（2）请直接写出不等式的解集．
18. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．

（1）以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接；
（2）作于；
（3）将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生需选择一种且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中_____，_____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度；
（3）根据调查结果，小明同学判定全校有30%的同学喜欢打篮球，有40%的同学喜欢打乒乓球．对此，你同意小明的说法吗？说说你的理由．
20. 如图，在菱形中，是边上高，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：．
六、（本题满分12分）
21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
七、（本题满分12分）
22. 数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究．
【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论．
小红证明如下：
如图1，在中，，
……
（1）请你帮他完成后面的证明过程．
【深入探究】
（2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由．
【应用实践】
（3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值．
八、（本题满分 14 分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线和直线的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标．
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九年级数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1. 在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，找出对称中心是解题的关键．
在平面内，如果一个图形绕着某个点旋转1后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据中心对称图形的定义，找出对称中心即可求解．
【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
B、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
C、有对称中心，是中心对称图形，符合题意；
D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C ．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．
根据点关于原点对称的点的坐标为，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是，
故选：C ．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 心想事成，完美B. 煮熟的鸭子，飞了C. 瞄准射击，打中D. 一天24小时，永恒
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的概念是解题的关键．
必然事件指在一定条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解．
【详解】解：A、心想事成，完美，是随机事件，不符合题意；
B、煮熟的鸭子，飞了，是不可能事件，不符合题意；
C、瞄准射击，打中，是随机事件，不符合题意；
D、一天24小时，永恒，是必然事件，符合题意；
故选：D ．
4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，求一元一次不等式的运用，掌握根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程的定义得到，根据方程有两个不相等的实数根得到，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得，且，
故选：B ．
5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，
∴，
∵点C在y轴上，
∴点C到的距离为a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质．
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即，
故选：B．
7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A. 15B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
根据题意可得正五边形每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴正五边形的每个内角的度数为，即，
∴，
∴，即每个正五边形所对圆心角为，
∵，
∴共需要正五边形的个数是10个，
故选：C ．
8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键．
根据题中所给的条件可知，竿的长度为x尺，门高为尺，门宽为尺，运用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵设门对角线长为x尺，
∴竿的长度为x尺，门高为尺，门宽为尺，
根据题意得：，
故选：A．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴直线为，
∴，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：B ．
10. 如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，连接，根据旋转的性质，等边对等角得到，再证明，，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵边绕点逆时针旋转一定角度得到，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若是方程的根，则代数式的值是_____．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的概念及计算是解题的关键．
根据题意可得，，将代数式变形得，代入计算即可求解．
【详解】解：若是方程的根，
∴，则，
∵，
∴原式，
故答案为： ．
12. 为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概念，掌握列表法活画树状图法是关键．
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下，“剪纸”、“木版画”、“陶艺”分别用表示，
共有9种等可能结果，其中甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的有3种结果，
∴他们刚好选到相同社团的概率是，
故答案为： ．
13. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为_____（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键．
根据题意可得圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，由（是扇形的弧长，是扇形所对圆心角的度数，为扇形半径）可得扇形半径为，再根据扇形面积即可求解．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，且扇形的圆心角的度数是，
∴扇形半径为，
∴圆锥的侧面积，
故答案为： ．
14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为_____；
（2）在滑动过程中，的最大值是_____．
【答案】 ①. 3 ②. 3
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，可得等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
（2）如图所示，延长交于点，连接，

∵，是直径，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当为直径时，即，的值最大，则的值最大，
∴的最大值是；
故答案为：①；② ．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：(x+1)2=3(x+1)
【答案】x1=-1，x2=2．
【解析】
【分析】把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程的两个根．
【详解】解：(x+1)2-3(x+1)=0，
(x+1)(x-2)=0，
∴x+1=0，x-2=0，
解得x1=-1，x2=2．
【点睛】本题考查的是用因式分解法解方程，把右边的项移到左边后，可以用提公因式的方法进行因式分解，求出方程的两个根．
16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明．
【答案】是的垂直平分线，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的判定定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，证明是等边三角形，进而证明，等边三角形，得出，结合，即可得证．
【详解】是的垂直平分线
证明：连接，
由绕点顺时针旋转一定角度所得，
，，．
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
，
，
又，
为等边三角形，即．
又，
是的垂直平分线．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A、B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用图象求不等式的解集：
（1）将代入求出点A坐标，再代入即可求解；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【小问1详解】
解：把点代入直线得：，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：把点代入直线得，，
解得，
∴，
观察函数图象，发现：当-或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
18. 如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．

（1）以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接；
（2）作于；
（3）将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题．
（1）根据旋转变换的性质作出点的对应点即可；
（2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求；
（3）取点，使得，取格点，作射线（目的使得旋转角），取格点，连接交于点（目的使得），即为所求．
【小问1详解】
解：根据旋转变换的性质，在网格中取格点，连接线段， 如图：
【小问2详解】
解：取格点，，连接交于点，连接，如上图，
根据网格知识，，
又∵，
∴．
【小问3详解】
解：取点，使得，取格点，作射线，则，取格点，连接交于点，即，则即为所求，如上图所示．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某校九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生需选择一种且只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为_____，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中_____，_____，表示“足球”的扇形的圆心角是_____度；
（3）根据调查结果，小明同学判定全校有30%的同学喜欢打篮球，有40%的同学喜欢打乒乓球．对此，你同意小明的说法吗？说说你的理由．
【答案】（1），补图见详解
（2），，
（3）不同意小明的说法，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握根据样本百分比估算总体数量，某项百分比的计算，圆心角的计算，由调查数据做决策的方法是解题的关键．
（1）根据篮球的人数与占比得到抽样调查的人数，再得到足球的人数即可求解；
（2）根据某项百分比，圆心角的计算方法计算即可；
（3）根据调查数据作结论即可．
【小问1详解】
解：篮球的有12人，占比，
∴（人），
∴九（1）班的学生人数为人，
∴足球的人数为（人），
补全图形如下，
【小问2详解】
解：九（1）班的学生人数为人，排球的有人，
∴，即，
足球的有人，
∴，即，
∴，
故答案为：，，；
【小问3详解】
解：不同意小明的说法，理由如下，
九（1）班的学生人数为人，有的同学喜欢打篮球，有的同学喜欢打乒乓球，本次抽样调查的数据较少，不具有代表性，
∴不能用九（1）班学生的情况代表学校情况．
20. 如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线；
（2）连接，首先得到，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
．
，
．
又为的直径，
是的切线．
【小问2详解】
证明：如图1，连接，
，是的直径，
，，
，
即．
又，
．
四边形是菱形，
，
则，
，．
【点睛】本题考查了圆与四边形综合题，切线的判定，圆周角定理，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%
（2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
【小问2详解】
解：设增加x条生产线．
，
解得，（不符合题意，舍去），
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
七、（本题满分12分）
22. 数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究．
【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论．
小红证明如下：
如图1，在中，，
……
（1）请你帮他完成后面的证明过程．
【深入探究】
（2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由．
【应用实践】
（3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值．
【答案】（1）是等边三角形，证明见解析；（2）正确，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，，再根据三角形内角和定理得到，结合等边三角形的定义即可求解；
（2）在上截取，可得为等边三角形，再证，得到，由此即可求解；
（3）点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，如图，连接，过点作于点，过点作于点，可得，，，在Rt中由勾股定理可得，由此即可求解．
【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下：
在中，，
，，
，
∴是等边三角形．
（2），理由如下：
在上截取，如图：
，
为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，即．
（3）∵点是的中点，
点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，
等边是的内接正三角形，
平分，平分，
，
的半径为2，
，
，，，
，，，
，
在Rt中，，
．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
八、（本题满分 14 分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线和直线的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为，．
【小问1详解】
把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，把代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
过作轴交于，如图：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值4，
此时的坐标为；
【小问3详解】
直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
由，得直线函数表达式为，
联立，解得或，
的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．