广西壮族自治区百色市右江区2024-2025学年上学期期末九年级数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广西壮族自治区百色市右江区2024-2025学年上学期期末九年级数学试卷（原卷版+解析版），共32页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，请把答题卡上交，试卷自行保存．
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 的值等于（ ）
A. 1B. C. D.
2. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的点为（ ）
A. B. C. D.
4. 某水库拦水坝横成面如图所示，已知斜坡的坡度为，坡角，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 6D. 10
6. 如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A. 点RB. 点PC. 点2D. 点O
7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 将抛物线向左平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
9. 小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小． 此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A. y与x的关系式为 B. 当时，
C. 镜片度数越大，镜片到光斑距离越小D. 平光镜（近视度数为 0）的镜片到光斑距离为0米
10. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ）
A B. C. D.
11. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 二次函数的顶点坐标是____________．
14. 如图是装满了液体的马提尼杯的截面图（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上的截面图如图所示，此时液面的长为______．
15. 如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则csA的值为_________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点．若图象经过点，且，则的值为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步聚）
17. 根据已知条件，求下列比的结果．
（1）已知，求的值；
（2）已知，则的值．
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．

19. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD长．
20. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据：
（1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______．
（2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标．
①将这4个点的坐标填入下表：
②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接；
③直接写出所得曲线对应的函数表达式．
（3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围．
21. 图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．
（1）当点D和点E重合时，求的度数；
（2）若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然；
（3）当时，请计算点A到的距离．（参考数据，）
22. 项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
23. 解答
（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
右江区2024~2025学年度上学期教学质量监测试卷
九年级数学
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，请把答题卡上交，试卷自行保存．
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. 的值等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可．
【详解】解：如图，中，，，则，，
∴，
故选：C．
2. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的识别．根据二次函数的定义：“形如，这样的函数叫做二次函数”，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意；
B、，整理，得：，是一次函数，不符合题意；
C、，是二次函数，符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
3. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可．
【详解】解：A．当时，，∴点不在的图象上，故本选项符合题意；
B．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意；
C．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意；
D．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 某水库拦水坝的横成面如图所示，已知斜坡的坡度为，坡角，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数即可，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系．
【详解】解：∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
故选：．
5. 如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
6. 如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A. 点RB. 点PC. 点2D. 点O
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案．
【详解】解：如图所示，位似中心是点．
故选：D．
7. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，，
，
，
，
，
．
故选：．
8. 将抛物线向左平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移；根据平移规律“左加右减，上加下减”即可写出表达式．
【详解】解：抛物线向左平移5个单位后所得到的抛物线为，
故选：C．
9. 小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小． 此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A. y与x的关系式为 B. 当时，
C. 镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小D. 平光镜（近视度数为 0）的镜片到光斑距离为0米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：该函数图象过点，
设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项正确，符合题意；
根据题意得：平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
10. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，
在中，，
如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
∴，
∴，
点O为跷跷板的中点，
∴，
是的中位线，
，
故选：D．
11. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形求出，再根据即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点分别作的垂线段，垂足分别为 ，连接，则，如图，
在中， ，
在， ，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：．
12. 如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，，过作，垂足为H，利用勾股定理求出和，设，求出和，利用表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：如图，连接，，过作，垂足为H，

∵，，点E是线段的三等分点（），
∴，，
∴，
设，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴
令，则，
∴，
则，
当时，最小，且为，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 二次函数的顶点坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，熟知对于二次函数的顶点坐标为是解题的关键．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：的顶点坐标是．
故答案为：．
14. 如图是装满了液体的马提尼杯的截面图（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上的截面图如图所示，此时液面的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
马提尼杯前后的两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质即可得，然后代入求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15. 如图，Rt△ABC中，，AC＝5，BC＝12，则csA的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，再根据余弦的定义即可求出答案．
【详解】根据勾股定理可求出，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，求角的余弦值．掌握余弦是直角三角形中邻边与斜边的比是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点．若图象经过点，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，作，作，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，，根据相似三角形判定和性质得，从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值．
【详解】解：作，作，如图，设，，
依题意可得：，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴即，
∴，
∵在反比例函数上，
∴．
故答案为24．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步聚）
17. 根据已知条件，求下列比的结果．
（1）已知，求的值；
（2）已知，则的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据已知可得，即可作答．
（2）先设，则得，再代入，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴
【小问2详解】
解：依题意，设，
∴，
∵，
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．

【答案】米
【解析】
【分析】利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高AB．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
答：树高为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
19. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）CD的长为
【解析】
【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；
（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
【小问2详解】
解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得△ABP∽△PCD，
，
∴，
∴CD=．
答：CD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．
20. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据：
（1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______．
（2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标．
①将这4个点的坐标填入下表：
②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接；
③直接写出所得曲线对应的函数表达式．
（3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围．
【答案】（1）8 （2）①见详解②见详解③
（3）
【解析】
【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论；
（2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可；③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意得到关于不等式，解不等式即可得到结论．
【小问1详解】
解：设，
把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：①如图，
②反比例函数的图象如图所示；
③点在反比例函数图象上，
所得曲线对应的函数表达式为；
【小问3详解】
解：当时，即，
解得，
重物的质量的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
21. 图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．
（1）当点D和点E重合时，求的度数；
（2）若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然；
（3）当时，请计算点A到的距离．（参考数据，）
【答案】（1）
（2）此时操作人员用该取盘器手势不自然
（3）点A到的距离为
【解析】
【分析】（1）本题考查了解直角三角形和三角形的全等，解题的关键是利用正切做题；
（2）本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是利用正弦做题；
（3）本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是利用正弦，余弦做题．
【小问1详解】
解：如下图，中，，
，
，
，
；
【小问2详解】
如下图，连接，过点A作于点H，
，
，
，
，
，
此时操作人员用该取盘器手势不自然；
【小问3详解】
如下图，过点D作于点F，过点A作于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点A到的距离为．
22. 项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B坐标；
（3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当时，
解得，（舍去），
∴
∴点B的坐标为；
（3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，
∴米，
则（米）
∴点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出水能浇灌到整个绿化带．
23. 解答
（1）问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
【答案】（1） ①. ②.
（2），，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，可得，通过证明，可得的值；
（2）先证明，再证明，可得的值，得到，即可求的度数；
（3）分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【小问1详解】
解：，，
，
，
且，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，，
，，
，，
，
，
，且，
，
，
，
．
【小问3详解】
若点在线段上，如图，
由上一问可知：，，
，
，，，
，，
，且点是的中点，
，且是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
若点在线段的延长线上，如图，
同理可得，，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键．
重物质量m/kg
1
2
3
5
活塞到桶底的距离h/cm
24
16
12
……
……
……
……
重物质量m/kg
1
2
3
5
活塞到桶底的距离h/cm
24
16
12
……
……
……
……
2
3
4
5
24
16
12
8