广西壮族自治区贺州市昭平县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广西壮族自治区贺州市昭平县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共26页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
2. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 反比例函数的图像位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限
C. 第二、三象限D. 第二、四象限
5. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
10. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
11. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________

14. 若，且，则_____________度．
15. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为______米．
16. 如图，点A为反比例函数图象上一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
17 计算：．
18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
19. 如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
20. 如图，在中，，是边上的中线，．
（1）求的长；
（2）求值．
21. 如图，矩形中，E，F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为交于H．
（1）求证：；
（2）若P为中点，且，求长．
22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段和的长度：
（2）求底座的底面的面积．
23. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，__________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
广西2024~2025学年度上学期期末素质评价
九年级数学
（满分：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答．
【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形
故选：B
2. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；
故选：B．
4. 反比例函数的图像位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限
C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，因此，
∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限. 故选D.
考点：反比例函数的性质.
5. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦的定义，角的邻边与斜边的比值，就可以求出．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对三角函数的定义的掌握．
6. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可．
【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵点的坐标为，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B．
7. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵函数的解析式是，如图，
∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴点A关于对称轴的点A′是，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，
∴于是，
故选A．
9. 如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
10. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
11. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵等边，于点D，长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
12. 如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点作、、，设，，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可．
详解】解：如下图所示，过点作、、，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
是的内切圆，
设，，
则有，，，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，，
．
故选：A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________

【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案：．
14. 若，且，则_____________度．
【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值求得，进而求得．
【详解】解：∵
∴
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
15. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为______米．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出．
【详解】设过点的水平线于交于点，如图，
由题意，知：四边形是矩形米，
，
在中，
在中，
，
，
解得（米），
故答案为：15．
16. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
过A作轴于C，过B作轴于D，，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，化简绝对值，再计算即可．
【详解】解：
；
18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
19. 如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【小问1详解】
解：如图1，即为所作；
【小问2详解】
证明：如图2，作于，

∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
20. 如图，在中，，是边上的中线，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）14 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，矩形中，E，F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为交于H．
（1）求证：；
（2）若P为中点，且，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠得，则，所以；
（2）由，，得，，则，求得，则，由相似三角形的性质得，则，而，所以．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
将四边形沿翻折，点的对称点落在上，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，为中点，
，，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
长为．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段和的长度：
（2）求底座的底面的面积．
【答案】（1）7米；3米
（2）18平方米
【解析】
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；
（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．
小问1详解】
解：∵，的长为4米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
【小问2详解】
过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
23. “端午节”吃粽子中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，__________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】（1）
（2）当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
（3）他们的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，列式计算即可；
（2）根据销售量乘以每盒的利润得到，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）设日销售额为元，则，根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当时，由，解得，由抛物线开口向下，得到当时，，即可判断小红的说法．
【小问1详解】
解：当时，（盒），
故答案为：
【小问2详解】
由题意得，
，
又∵，即，
解得，
∵，
∴当时，W最大，最大值为，
∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
【小问3详解】
他们的说法正确，理由如下：
设日销售额为元，则
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当时，最大，此时为，
即小强的说法正确；
当时，，解得，
∵抛物线开口向下，
∴当时，∵，
∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为．
故小红的说法错误．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和正确计算是解题的关键．
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，．，，．
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，．，，．