河南省周口市淮阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省周口市淮阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数中，3.1415，，，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. x（a﹣b）＝ax﹣bxB. x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
C. x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D. m+1＝x（1+）
4. 若一正数a的两个平方根分别为2m﹣3和5﹣m，则a的值是（ ）
A. ﹣7B. 7C. 49D. 25
5. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 13或10
6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 若a2=b2，则a=bB. 等角对等边
C. 若a＜0，b＜0，则ab＜0D. 全等三角形的对应边相等
7. 如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧．两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A. 22°B. 24°C. 26°D. 28°
8. 如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（ ）

A. 14B. 15C. 16D. 17
9. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A 20°B. 40°C. 60°D. 80°
10. 如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为
A. 4B. C. 15D. 8
二、填空题（每小题3分，共15分））
11. 计算：______．
12. 若是一个完全平方式，则______．
13. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为____________．
14. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两组全等的三角形（，）．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为__________．
15. 如图①，正方形的边长为3，将该正方形对折，折痕为．
如图②，将正方形展开，点、分别在边、上，且，点为折痕上一动点，若，则的最小值为__________．
三、解答题
16. （1）计算：
（2）计算：．
17 先化简，再求值：，其中，．
18. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为A “剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次一共抽取了________名学生；统计图中________，________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为________．
19. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当，时的绿化面积．
20. 如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求度数．
21. 图①是一个长为，宽为的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若，，求的值．
22. 著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
（1）图2为美国第20任总统加菲尔德“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
（3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长．
23. 如图（1），，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点运动到何处时有与全等？求出相应的的值．
2024-2025学年度第一学期期末质量检测
八年级数学
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数中，3.1415，，，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．
故选：D．
【点睛】此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．根据同底数幂的乘法和积的乘方、合并同类项、幂的乘方的法计算，即可解决此题．
【详解】解：A．根据积的乘方，，那么A正确，故A符合题意；
B．根据同底数幂乘法，，那么B错误，故B不符合题意；
C．与不是同类项，不能合并，那么C错误，故C不符合题意；
D．根据幂乘方，，那么D错误，故D不符合题意；
故选：A．
3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. x（a﹣b）＝ax﹣bxB. x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
C. x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D. m+1＝x（1+）
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误，不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误，不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确，符合题意；
D、等号左右两边式子不相等，故D错误，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了因式分解的意义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式是解题的关键．
4. 若一正数a的两个平方根分别为2m﹣3和5﹣m，则a的值是（ ）
A. ﹣7B. 7C. 49D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程求出的值，由此即可得．
【详解】解：一正数的两个平方根分别为和，
，
解得，
则，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的性质和一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）是解题关键．
5. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 13或10
【答案】B
【解析】
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+33能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 若a2=b2，则a=bB. 等角对等边
C. 若a＜0，b＜0，则ab＜0D. 全等三角形的对应边相等
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出各命题的逆命题，然后根据乘方法则、等腰三角形的判定和性质、有理数的乘法法则、全等三角形的判定和性质判断．
【详解】解：A、若a2＝b2，则a＝b的逆命题是若a＝b，则a2＝b2，正确；
B、等角对等边的逆命题是等边对等角，正确；
C、若a＜0，b＜0，则ab＜0的逆命题是若ab＜0，则a＜0，b＜0，错误；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握乘方法则、等腰三角形的判定和性质、有理数的乘法法则、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7. 如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若，则的度数是（ ）
A. 22°B. 24°C. 26°D. 28°
【答案】B
【解析】
【分析】由尺规作图痕迹可知MN垂直平分AB，得到DA=DB，进而得到∠DAB=∠B=50°，再利用等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC-∠DAB即可．
【详解】解：∵，
∴∠B=∠C=52°，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-52°-52°=76°，
由尺规作图痕迹可知：MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=52°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=76°-52°=24°．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质等，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解决本类题的关键．
8. 如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（ ）

A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值．
本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键．
【详解】解：根据题意得：
当，时，
．
故选：A．
9. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（ ）
A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角定理及等腰三角形的性质解答．
【详解】解：∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝OB′，
∵∠OAC＝20°，
∴∠OB′A＝20°，
∴∠A′OA＝20°×2＝40°．
故选B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形与外角定理.
10. 如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为
A. 4B. C. 15D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12，
∴OE+OF=，
故选 B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键.
二、填空题（每小题3分，共15分））
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】运用积的乘方公式计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
12. 若是一个完全平方式，则______．
【答案】11或##或
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，解得或，
故答案为：11或．
13. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可．
【详解】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：1．
14. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两组全等的三角形（，）．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】设，正方形的边长为，则，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：正方形的边长为，则，
设，
∵，，
，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：6
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图①，正方形的边长为3，将该正方形对折，折痕为．
如图②，将正方形展开，点、分别在边、上，且，点为折痕上一动点，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，与关于对称，当点刚好为与的交点时，的值最小，且最小值为的长度，设与交于点，证明，得，根据勾股定理可得．
【详解】解：由题意可得，
与关于对称，
当点刚好为与的交点时，的值最小，且最小值为的长度，
设与交于点，
，
，
，，
，
，
根据勾股定理可得，
的最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题
16. （1）计算：
（2）计算：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算．
（1）根据实数的混合运算法则计算即可求解；
（2）先计算乘方，再根据单项式乘除法则计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，37
【解析】
【分析】先根据整数的混合运算法则进行计算化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值．正确的进行计算化简，是解题的关键．
18. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为A “剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次一共抽取了________名学生；统计图中的________，________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为________．
【答案】（1）120；12；36
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值；
（2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比乘以即可求出C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角．
【小问1详解】
解：，，，
故答案为：120；12；36．
【小问2详解】
解：类别的人数为：（人）
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．
19. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当，时的绿化面积．
【答案】（1）
（2）63平方米
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键．
（1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可；
（2）将，代入（1）所求式子，求值即可．
【小问1详解】
解：
，
答：绿化的面积是平方米；
【小问2详解】
解：当，时，原式，
答：绿化的面积是63平方米．
20. 如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；
（1）先证明，进而结合已知证明；
（2）由（）知，得出，进而根据等腰三角形定义，以及三角形内角和定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
即，
在和中，
，
【小问2详解】
解：由（）知，
，
，
，
，
的度数是．
21. 图①是一个长为，宽为的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若，，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为，中间阴影部分的面积为；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为，所以其面积为．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即．
（3）根据（2）的关系式代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：方法一：．
方法二：．
故答案为：，；
【小问2详解】
，，这三个代数式之间的等量关系为．
故答案为：．
【小问3详解】
∵，，
，
∴．
【点睛】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．
22. 著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则．
（1）图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．
（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米．
（3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求长．
【答案】（1）见解析 （2）新路比原路短千米
（3）的长为千米
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果．
【小问1详解】
解：∵，
，
∴，即；
【小问2详解】
解：设千米，则千米．
在中，，即，
解得：，
即千米，（千米）．
∴新路比原路短千米．
【小问3详解】
解：设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
∴的长为千米．
23. 如图（1），，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点运动到何处时有与全等？求出相应的的值．
【答案】（1），见解析
（2）当与全等时，的值为1或．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．
（1）结合，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到；
（2）分情况讨论：①若，则，；②若，则，，，然后分别求出和的值即可．
【小问1详解】
解：，，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①若，则，，
可得，，
解得，；
②若，则，，
可得，，
解得：，．
综上所述，当与全等时，的值为1或．