河南省南阳市多校2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市多校2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上册第11~13章
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在括号中．
1．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．4，5，6B．3，4，5C．3，3，4D．3，3，6
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，这是一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50° D．60°
5．如图，在一个池塘两旁分别有一条笔直的小路（，为小路的两个端点）和一棵小树（为小树的位置）．测得，，米，则的长为（ ）
A．45米B．48米C．50米D．52米
6．如图，，，则的依据是（ ）
A．SASB．HLC．SSSD．AAS
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合.过角尺顶点的射线便是的平分线.在这个过程中可以得到，依据的基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8．如图，在等腰中，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，直线与交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．10B．11C．13D．15
9．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图2所示的正五边形，则图中的度数是（ ）
A．60°B．45°C．40°D．36°
10．数学老师在黑板上展示了如下问题：
如图，，，，，求的度数．
解：在和中
（@）
，（全等三角形的相等）．
，，
，
．
下列题目中引用的特殊符号所代表的内容，正确的是（ ）
A．@代表ASAB．◎代表
C．代表对应边D．※代表110°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个比大且比小的整数____________．
12．如图，在中，，平分，，，则的面积为____________．
13．如图，在中，，于点，，分别是上的任意两点．若的面积为20 cm2，则图中阴影部分的面积为____________ cm2．
14．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则____________°．
15．定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是___________，第150个“师一优数”是____________．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：
（2）因式分解：.
17．（9分）先化简，再求值：其中，.
18．（9分）如图，，，，分别是，的中点．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
19．（9分）如图，，，垂足分别为，，，相交于点．若，求证：平分．
20．（9分）如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数．
21．（9分）我们规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”：______________，___________________.
（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线．
22．（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点．
（1）求证：点在线段的垂直平分线上．
（2）已知，求的度数．
23．（10分）综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
2024-2025学年度八年级综合素养评估（三）
数学参考答案
1．C2．A3．D4．C5．D
6．B7．C8．A9．D10．D
11．3（或4）12．613．1014．54
15．24 1216
提示：令满足“师一优数”的两个正整数分别为和，
则“师一优数”可表示为
为正整数，
当时，第1个“师一优数”为；
当时，第2个“师一优数”为；
当时，第3个“师一优数”为；
……
由此可见，第个“师一优数”可表示为.
当时，，
即第150个“师一优数”为1216，
故答案为24，1216.
16．解：（1）原式 5分
（2）原式 10分
17．解：原式
6分
当，时，原式 9分
18．解：（1）证明：在和中，
，
4分
（2），分别是，的中点，，
.
在和中，
，
，
9分
19．证明：，，
2分
在与中，
，
， 6分
.
，，
是的平分线，即平分 9分
20．解：（1）如图，即为所求 3分
（2）平分，
.
在和中，
，
， 6分
，
，
，
，
9分
21．解：（1）和；和（或和） 4分
（2）证明：，，
， 5分
为角平分线，
，
，
，
为等腰三角形， 7分
在中，，，
，
，，，
和互为“等角三角形”，
为的等角分割线 9分
22．解：（1）证明：如图，连接，，.
垂直平分，垂直平分，
，， 2分
，
点在线段的垂直平分线上， 4分
（2）垂直平分，垂直平分，
，，，
，. 5分
，，
，
，
. 8分
，，
，
. 10分
23．解：（1）① 1分
②3. 3分
（2）如图1，过点作，垂足为.
，
，
.
，
，
.
在和中，
，
，
6分
（3）的面积为16或40. 10分
提示：过点作于点，则，，
.
分两种情况：
ⅰ：如图2，当时，过点作，交的延长线于点.
，，
，
，
.
ⅱ：如图3，当时，过点分别作垂直于，的垂线，
垂足分别为，.
同ⅰ，可得，
，
，
，
故的面积为16或40.