安徽省安庆市太湖县2024-2025学年上学期期末教学质量监测八年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省安庆市太湖县2024-2025学年上学期期末教学质量监测八年级数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：总分150分，答题时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知点在第二象限，则点在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ）
A B. C. D.
3. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 若|x|=l，则x=lC. 内错角相等，两直线平行D. 若x3=0，则x=0
4. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为，a的值可能是（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
7. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（ ）
A. B.
C. D.
9. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）

A. a+bB. a-bC. 2a+bD. 2a-b
10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个．
①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是______．
12. 一副分别含有和角的两个直角三角板拼成如图所示图形，则的度数是_________
13. 如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有_______个.

14. 如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点
（1）的纵坐标是_____；
（2）的纵坐标是____．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知与成正比例，当时，．
（1）求出与函数表达式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
16. 如图，在平面直角坐标系中
（1）把向下平移4个单位长度得，请画出；
（2）请画出关于轴对称的．
17. 如图，，，，．
（1）求的度数；
（2）判断形状，并说明理由．
18. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，求此时的长．
19. 如图，，分别是的中线和角平分线，．
（1）若面积是20，且，求的长．
（2）若，求的度数．
20. 第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
21. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标．
22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
（1）________；（用含的代数式表示）
（2）求证：；
（3）当为何值时，为直角三角形？
23. 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
（1）如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
（2）如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
太湖县2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测
八年级数学试题卷
温馨提示：总分150分，答题时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知点在第二象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查象限点的坐标的符号特征，由点在第二象限，可得，据此可得点所在的象限．解题的关键是掌握象限内点的坐标特征：第一象限：（＋，＋）；第二象限：（－，＋）；第三象限：（－，－）；第四象限：（＋，－）．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
又∵，
∴点在第四象限．
故选：D．
2. 把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数平移问题，熟记“左加右减，上加下减”即可得出本题答案．
【详解】解：∵直线向下平移1个单位长度后，
∴，
故选：D．
3. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 若|x|=l，则x=lC. 内错角相等，两直线平行D. 若x3=0，则x=0
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质、绝对值的运算、平行线的判定、有理数的运算，即可一一判定．
【详解】解：A.对顶角相等，是真命题，故该选项不符合题意；
B.若|x|=l，则x=l或x=-l，故原命题是假命题，故该选项符合题意；
C.内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
D.若x3=0，则x=0，是真命题，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、绝对值的运算、平行线的判定、有理数的运算，掌握各性质及运算是解决本题的关键．
4. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集．
【详解】解：如图所示：
一次函数与一次函数的图象交于点，
关于的不等式的解集是：．
故选：D．
5. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】解：根据图形，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据，
故选：B．
6. 若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为，a的值可能是（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此列出不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为，
∴，
解得：，
A、C、D均不在a的取值范围之内，不符合题意；
B在a的取值范围之内，符合题意；
故选：B．
7. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数．
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故选：D．
8. 甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实际情况分析结合图象即可得到答案，此题考查了函数图象，读懂题意，找出图象是解题的关键．
【详解】根据题意可得：甲先步行到中点改骑自行车，即先慢后快；
乙先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢．最后同时到达终点，
故选C．
9. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）

A. a+bB. a-bC. 2a+bD. 2a-b
【答案】A
【解析】
【分析】连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AE、AF，设正方形ABCD的边AD与点A所在的大正方形边交于G，AB与EF交于H，
∵点A为大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE与△HAF中，

∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个．
①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：和的平分线相交于点G，
，
，
，
，
，
同理可得，
，故①正确；
∵与不一定相等，，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，故②错误；
和的平分线相交于点G，
，
，故③错误；
和的平分线相交于点G，
点G到的距离相等，到的距离相等，
点G到各边的距离相等，故④正确；
如图所示，连接，
点G到各边的距离相等，，，
，故⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 函数中，自变量x取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的性质和分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意列出不等式即可得到答案．
【详解】解：，
解得，
故答案为：．
12. 一副分别含有和角的两个直角三角板拼成如图所示图形，则的度数是_________
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的性质．先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：图中是一副直角三角板，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有_______个.

【答案】5
【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC．
【详解】分三种情况讨论：
①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，

②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，
同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，

③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，
同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，

故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．
14. 如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点
（1）的纵坐标是_____；
（2）的纵坐标是____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，准确得到规律是解题的关键．
（1）把代入，求出函数解析式，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，继而得到点的纵坐标为；
（2）同理点的纵坐标为，点的纵坐标为，……，由此发现规律，进而解题．
【详解】解：（1）∵在直线，
∴，即，
∴该函数解析式为，
如图，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，
设，
∵都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，即点的纵坐标为；
（2）同理点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
……，
由此发现，的纵坐标为，
∴点的纵坐标是．
故答案为：（1）；（2）．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知与成正比例，当时，．
（1）求出与的函数表达式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解；
（2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求的值．
【小问1详解】
解：∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，即；
【小问2详解】
解：点在函数的图象上，
∴，
解得：．
16. 如图，在平面直角坐标系中
（1）把向下平移4个单位长度得，请画出；
（2）请画出关于轴对称的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质和平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质，分别将点、、向下平移4个单位长度得到点、、，再依次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，分别画出点、、关于对称的对称点、、，再依次连接即可．
【小问1详解】
解：分别将点、、向下平移4个单位长度得到点、、，再依次连接，如图所示，为所作，
【小问2详解】
解：分别画出点、、关于对称的对称点、、，再依次连接，如图所示，为所作，
17. 如图，，，，．
（1）求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）等边三角形，见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法．
（1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出；
（2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
由（1）知，
，
，
，
是等边三角形．
18. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，延长线交于点．她两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知点距地面的高度，点，到的水平距离，分别为和，，点距地面的高度，求此时的长．
【答案】长为
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明是解题的关键．
由证明得出，进而求得，然后根据即可解答．
【详解】解：由题知，，，，，
，
．
，
在和中，．
，
，，
，
答：的长为．
19. 如图，，分别是的中线和角平分线，．
（1）若的面积是20，且，求的长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出．
【小问1详解】
解：是的中线，．
，
的面积是20，且，
，
，
；
【小问2详解】
是的中线，，，
，．
是的角平分线，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
20. 第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）5500元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
【小问1详解】
解：由题知，
与的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由题知
由（1）知
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，（元）．
21. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ．
（2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值．
（3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件P点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可；
（2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可；
（3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即
解得
一次函数的“不动点”为
【小问2详解】
解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，
，
又
解得
【小问3详解】
直线上没有“不动点”，
直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
（1）________；（用含的代数式表示）
（2）求证：；
（3）当为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或4
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键．
（1）在中，利用30度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解；
（2）由可得出，利用平行线的性质可得出，结合即可证出；
（3）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用30度角对边等于斜边的一半，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：t．
【小问2详解】
证明：，，
，
．
在和中，
．
【小问3详解】
，
当为直角三角形时，是直角三角形．
①当时，，
，
解得；
②当时，，
，
解得．
综上所述当为或4时，为直角三角形．
23. 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
（1）如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
（2）如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】（1）见解析 （2）①②；的度数会变化，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【小问1详解】
证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．