高考数学2025 数列求和 专项训练17（word版）

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求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）数列的通项公式，它的前项和，则（ ）
A．9B．10C．99D．100
例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ）
A．12B．21C．11D．31
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（ ）
A．3B．2C．1D．0
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，则___________.
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
例7．（2022·全国·高三专题练习）数列的前项和为，.
（1）求，；
（2）设，数列的前项和为.证明：.
例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列是前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（ ）.
A．25B．26C．13D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
3．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为
A．4033B．-4033
C．8066D．-8066
4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
5．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（ ）
A．421B．451C．439D．935
二、填空题
7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前n项和为______．
8．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列的通项公式，，其前项和为，则______．
9．（2022·上海·高三专题练习）设数列有，则_______.
三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=5，nSn+1-（n+1）Sn=n2+n.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
11．（2022·河北·高三专题练习）己知数列的前n项和为，且，_______.请在①；②；成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2022·全国·高三专题练习）有一正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，满足a2a4=64，S3=14.设bn=lg2an（n∈N*）.
（1）求a1，a2的值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；
（3）记，求数列{cn}的前n项和Tn.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记，求数列的前项和.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，数列的前项和为，求证：．
16．（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.
17．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，已知且数列是以为公差的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）令，求数列的前项和．
19．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列，，满足，，，，成等差数列．
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求．
21．（2022·全国·高三专题练习）在正项数列中，，，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，数列为正项等比数列，其满足，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若_______，求数列的前n项和.
在①，②，③这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足公差，前n项的和为，，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前100项的和.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
25．（2021·全国·高三专题练习）设{an}是等差数列，(n∈N*)；是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*).已知，，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.
（1）求Sn与an；
（2）若，求数列的前项和.
26．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.
27．（2021·海南二中高三阶段练习）递增等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
28．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知，，，中的个数为等差数列的前项，且不在数列中，在数列中.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
29．（2021·全国·高三专题练习）设数列是公差大于零的等差数列，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求.
30．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列中，，．
（1）求；
（2）若，求数列的前5项的和.