黑龙江省部分学校2025届高三第二次检测模拟考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省部分学校2025届高三第二次检测模拟考试数学试题（解析版），共21页。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知全集，集合，则（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】，
即得
故在第二象限，
故选：B
3.的展开式中的系数为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为，
当时，，当时，，
所以展开式中含的项为，
故展开式中的系数.
故选：D
4.某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
A.
B.估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
C.估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25
D.从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4
【答案】C
【解析】A选项，，解得，A错误；
B选项，，
估计这200名学生的平均体重为54.75千克，B错误；
C选项，前3组数据的频率和为，
前4组数据的频率和为，
故该校中学生体重的第65百分位数落在第4组中，设为，
则，解得，C正确；
D选项，从频率分布直方图可知，体重不低于60千克的频率为，
故从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.2，D错误.
故选：C
5.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（）
AB.C.D.1
【答案】B
【解析】，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.
因为，所以，所以，
所以，即实数的最小值为.
故选：B
6.已知椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于，若线段的中点在上，则的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】左焦点的坐标为，其中，离心率.
过点且斜率为的直线方程为.
当时，直线与轴交点的坐标为.
线段的中点坐标为.
中点在椭圆上，代入椭圆方程得到：，
化简得：.
利用和，代入上式得到：.
通分并整理得到方程：，
解得（舍去不合理的解），故离心率.
故选：D.
7.已知函数，如图，是直线与曲线的三个交点，若，点的横坐标为，则函数的最小正周期为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】令，结合的图象可得关于对称，关于对称，
所以，，解得
因为，所以，即，
即，解得，所以函数的最小正周期为.
故选：C
8.已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】不妨设，则由得，
令，则在上单调递增，
因为
所以，
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则（）
A.B.
C.D.
【答案】AC
【解析】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：AC
10.已知函数的极小值为，则（）
A.
B.曲线是中心对称图形
C.若直线与函数的图象有个交点，则实数的取值范围为
D.当时，
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，导函数，
当时，，函数为增函数，与条件矛盾，
当时，令可得，或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
由已知，所以，A错误，
所以，
设，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，
所以函数的图象关于点对称，关于曲线是中心对称图形，B正确，
因为当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
当时，，当时，，
所以函数的大致图象如下：
因为直线与函数的图象有3个交点，
所以，
所以的取值范围为，C正确；
因为，又，
所以，即，
因为，，
函数在上单调递减，
所以，D正确；
故选：BCD.
11.已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（）
A.
B.直线过抛物线的焦点
C.当为等腰三角形时，或
D.过点且与抛物线相切的直线平分
【答案】ABD
【解析】因为准线方程为，所以，A正确；
抛物线的焦点为，设，则,直线，
由，可得，，即,
当时，，即，此时直线过抛物线的焦点；
当时，直线的斜率分别为，
则，
所以直线过抛物线的焦点，B正确；
由抛物线定义可知,
当时，则在的中垂线上，则，即，
解得，此时,C不正确；
设过点的切线方程为，
联立，得，
易知，令，可得；
直线的斜率即为直线的斜率，即.
设直线过点的切线的倾斜角分别为，
则，
而，即，
因为点在第一象限，所以，所以；
因为直线的斜率为0，所以过点且与抛物线相切的直线平分.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知单位向量满足，则__________.
【答案】
【解析】∵，∴，
即，
∴，
∴.
故答案为：.
13.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设，则，，
因为，
所以，
所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
圆的圆心为，半径为，
又点为上一动点，
所以，
当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14.如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________.
【答案】1或3
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设，，，，，
因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，
所以，
根据两点距离公式可得：
，，,
解得：，所以，
因为，解得：或，
所以或.
故答案为：1或3.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.记中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，求的最大值.
解：（1）由题意得，
所以，即，
所以，
因为为三角形的内角，所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
所以，即，
又因为，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以.
所以的最大值为.
16.如图，在四棱锥中，底面，点满足.
（1）若平面，求的值；
（2）若，求平面与平面所成的二面角的正弦值.
解：（1）
延长交于，由，
可知：，
又因为平面，平面，且平面平面，
所以，即，
所以，故；
（2）由，又由底面，
则可以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，
所以，
则有，
又因为，所以，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，则，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，则，
所以有，
此时平面与平面所成的二面角的正弦值为.
17.为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为.
（1）若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.
解：（1）由题意随机变量的可能值为，，
，．，
的分布列为：
；
（2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为：
，
设，，则，
时，递增，时，，递减，
所以时，，
所以所求最大值为．
18.已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：；
（3）当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程.
解：（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可知：
再由点是双曲线上一点得：，
代入得：，故，
所以双曲线；
（2）设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为，
与双曲线，联立消去得：
，其中，不等于0，
设，则，
所以
设的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为：，
令得：，
则，
所以有；
（3）
设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为，
与双曲线，联立消去得：
，
设，则，
由直线与双曲线右支相交，则，解得，
由（2）知，由可知：，
即，根据，结合与右支交点可知，
根据（2）可知：，
则，
，
代入到上两式得：，，
再消得：，
此时满足，故符合题意，
则直线方程为.
19.已知数列满足是函数的零点，且.证明：
（1）；
（2）数列是递减数列；
（3）当时，
证明：（1）
由得
当时，，故在上为增函数，
故，此时函数无零点；
当时，，故在上为减函数，
故，此时函数无零点；
当时，，在上单调递增，
又因，所以在上存在唯一零点，且，
因此当时，
令，所以
所以,
因为，所以，
进而，
依次类推可得；
（2），
由（1）得，所以，从而，
因此数列是递减数列；
（3）
令
因此
依次类推可得
即：当时，0
1
2