黑龙江省部分学校2024-2025学年高三第二次检测模拟考试数学试题

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一、未知
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
C．估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25
D．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4
5．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于，若线段的中点在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，如图，是直线与曲线的三个交点，若，点的横坐标为，则函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的极小值为，则（ ）
A．
B．曲线是中心对称图形
C．若直线与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围为
D．当时，
11．已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ）
A．
B．直线过抛物线的焦点
C．当为等腰三角形时，或
D．过点且与抛物线相切的直线平分
12．已知单位向量满足，则 .
13．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 .
14．如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 .
15．记中，内角所对的边分别为.已知.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
16．如图，在四棱锥中，底面，点满足.
(1)若平面，求的值；
(2)若，求平面与平面所成的二面角的正弦值.
17．为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为.
(1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.
18．已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：；
(3)当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程.
19．已知数列满足是函数的零点，且.证明：
(1)；
(2)数列是递减数列；
(3)当时，