黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数为纯虚数，则a的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由题，，又为纯虚数，.
故选：A．
2. 已知幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】设，则即，
故选：B．
3. 已知等比数列中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由等比数列性质，得，所以.
故选：D
4. 已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误；
对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确；
对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误；
对于D选项，若，则或，所以D错误.
故选：B
5. 设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，则由已知得
化简得，
故选：C．
6. 若锐角满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】且平方得
，又
，
故选：A．
7. 已知定义域为的函数为奇函数，对任意的
,,，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设,由为奇函数可知为偶函数
因为任意的,,，都有
所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增．
因为，所以
若,则化为,即,由单调性可知．
若，则化为，即，由单调性可得．
综上,．
故选:C
8. 已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设数列公差为d，
则直线可化为，
即．
令，解得，可知直线过定点，
当时，弦长最小，此时最小．
又因为，则，
可知，则．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 在方向上的投影向量的模为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确，
对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误，
对于选项C，由，得，即，所以，所以选项C正确，
对于选项D，由投影向量定义可知，在方向上的投影向量为，
所以其模长为，故选项D正确．
故选：ACD．
10. 已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确是（ ）
A. 的图象关于对称
B. 在上单调递增
C. 直线是的一条切线
D. 若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为
【答案】AC
【解析】由且，都有同号可知，
,又，
由得，
由知关于对称，故A正确．
当时，，此时先增后减，故B错误．
．令得或，
其中，时在处得切线为，故C正确．
由得．
由正弦函数图象知道，得．故D错误．
故选：AC．
11. 广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（为参数，）．当时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. 当时，函数有最小值
C. ，
D. ，
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，
，A错；
对于B选项，，
当时，，则，则，
所以，，所以，当时，函数有最小值，B对；
对于C选项．设，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数上单调递增，则，即，
又，当时，，
所以，在上单调递增，所以，．故C正确；
对于D选项．当时，则，则在上单调递增．
当时，，则函数在上单调递减．
设，可在上单调递增，
因为，
，则，
所以，存在，使得，
即存在，使得，故D正确
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则的所有元素之和为________．
【答案】
【解析】,
即,
的所有元素之和为．
故答案为：.
13. 设双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，且．若四边形的周长为，则C的离心率为________．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性，可知四边形为平行四边形，又，
则四边形为矩形，设，则，
两个方程平方后相加得，在直角三角形中，
所以，化简得，由得．
故答案为：
14. 在正四棱台中，，则该正四棱台的高为________；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为________．
【答案】①. ②.
【解析】
取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接，
则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形，
，
．在中，，
即该正四棱台的高为．

连接PH，在中，，
点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即．
过点H作于点E，过H作于点F，则．
在中，．同理，
，
的长度为，
故点P的轨迹长度为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，．
（1）求B；
（2）求函数在上的最大值．
解：（1）在中，由正弦定理得
或．
又为钝角
.
（2）由（1）可知．
∴当，即时
．
16. 已知函数在处取得极值．
（1）求a的值；
（2）若存在使得，求实数m的取值范围．
解：（1），
由已知，
又当时，令得，
且当时在区间上单调递增，
时，在区间上单调递减．
在处取得极大值.
综上，.
（2）问题等价于存在使得．
设，则
当时，在上单调递减，
，
故m的范围是．
17. 设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，．
（1）解：由题意得，
①，
当时， ②
由①②得：，即
．
又时，满足.
（2）证明：由得，.
①当n为偶数时，
此时，，故
②当n为奇数时，
综上，当时，．
18. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，平面ABCD，，平面平面．
（1）求证：；
（2）如图，且，求点M到平面PBC的距离；
（3）设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明：四边形ABCD为正方形
又平面PCD，平面PCD
平面PCD
又平面PAB，平面平面
（2）解：取BC中点N，连接ON，则
平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则
．设平面PBC的一个法向量为
则，得，取
点M到平面PBC的距离为
（3）解：存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为，
，且平面ABCD为正方形，
点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设
则，解得．
即
设，，
设平面AEC一个法向量为，则得，
取
设直线PQ与平面AEC所成的角为
化简得，即或（舍）．
∴存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面AEC所成角的正弦值为．
19. 已知曲线，点在曲线W上．
（1）求曲线W在点Q处的切线方程；
（2）如图1，过曲线W外一点A（不在y轴上）作W的两条切线AB，AC，切点为B，C，过曲线W上一点M的切线交AB，AC于点，且，把这样的叫做“外切三角形”．
①连接AM交BC于点E，求证：A，M，E三点的纵坐标成等差数列；
②如图2，从点A出发做出的第一个外切三角形是再过点分别做出2个“外切三角形”，即和；继续过点分别做出4个“外切三角形”以此类推，依次做出1，2，4，8，…，个外切三角形．设的面积为S，求这些“外切三角形”的面积之和T，并证明．
解：（1）由题可得，则，，，
故点Q处的切线方程为
即．
（2）①
则由（1）可知直线AB为
直线AC为，由A在AB上，同时A在AC，
可知直线BC的方程为，
即，，
又由（1）可知直线斜率为，又，
，即，则直线AM为，E点横坐标为，
又在BC上，，
，
即A、M、E三点的纵坐标成等差数列．
②由①可知A、M、E三点的纵坐标成等差数列，则，
又，则，可得，且相似比为，
故，同理可得
如图连接BM，CM，因，又，
则与在底边BC与底边对应的高相同，
又，则，则，
则，
即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的，
同理可知每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的，
可得