新高考数学二轮复习排列组合题型归纳练习专题19 复杂问题列举法策略（2份，原卷版+解析版）

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对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往运用穷举法或画出树状图，会收到意想不到的结果．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）
A．28B．24C．20D．16
例2．（2023·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母，，各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如），则不同的排法共有（ ）种
A．36B．30C．24D．16
例4．（2023·全国·高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（ ）
A．21种B．22种C．25种D．27种
例5．（2023·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为
A．13B．14C．15D．16
例6．（2023·海南海口·统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为
A．20B．18C．16D．11
例7．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（ ）
A．28个B．21个C．35个D．56个
例8．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（ ）
A．89B．51C．49D．13
例9．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20B．56C．84D．120
例10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，那么满足的所有有序数组的组数为（ ）
A．45B．46C．47D．48
例11．（2023·全国·高三竞赛）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”.那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个.
A．100B．120C．160D．200
例12．（2023·高二单元测试）从1到100这100个自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,不同取法共有( )种.
A．50B．100C．1275D．2500
例13．（2023·全国·高三专题练习）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）
A．15种B．16种C．17种D．18种
例14．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性的日期，在二十一世纪还能再遇到_____________次.
例15．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲将球传出，传了4次球后，球回到甲手里的不同方法共有______种.
例16．（2023春·江苏泰州·高二统考期中）三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 （用数字作答）．
例17．（2023·辽宁大连·校联考一模）在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者．三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种（用数字作答)．
例18．（2023春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）设，那么满足的所有有序数组的组数为_________.
例19．（2023·高二课时练习）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有____________个
例20．（2023·全国·高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
例21．（2023春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期中）一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.
例22．（2023春·北京·高二统考期中）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个
例23．（2023·全国·高三专题练习）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
例24．（2023·全国·高二专题练习）甲､乙､丙三人相互传球，由甲开始发球，经过次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？
例25．（2023·高二课时练习）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？
例26．（2023·全国·高三专题练习）10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级．
(1)他6步就可上完台阶的方法数是多少？
(2)他上完台阶的方法总数是多少？
例27．（2023·浙江·高三专题练习）用这六个数字组成无重复数字的自然数.（1）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字及个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如等都是“凸数”，则“凸数”有_______个；（2）在组成的五位数中，恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有________个.