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所属成套资源：2023年新高考数学考前提分锦囊【三轮冲刺】
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专题10 立体几何与空间向量——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版）
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这是一份专题10 立体几何与空间向量——【高考三轮冲刺】2023年新高考数学考前提分冲刺（原卷版+解析版），文件包含专题10立体几何与空间向量解析版docx、专题10立体几何与空间向量原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
从近两年的新高考试题来看,立体几何是高考重点,一般有两道客观题,一道解答题，客观题容易题、中等题、难题都有可能，考查热点为几何体中长度、面积、体积的计算，异面直线所成角、球与几何体的切接、截面问题、几何体中平行与垂直的判断；解答题难度多为中等，属于得分题，该题一般有两问，第一问多为平行与垂直的证明，第二问多为线面角与二面角的计算.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A. 20°B. 40°
C. 50°D. 90°
2.（2020新高考山东卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
3.（2020新高考山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．4D．
5．（2021新高考全国卷Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
6．（2021新高考全国卷Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
7. （2021新高考全国卷Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
8. （2021新高考全国卷Ⅱ）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A. B.
C. D.
9. （2021新高考全国卷Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
10. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是
AB. C. D.
11.（2022新高考全国卷Ⅰ）已知正方体,则
A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为
12. （2022新高考全国卷Ⅰ）如图,直三棱柱的体积为4,的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值．
13.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A. B. C. D.
14.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则
A. B.
C. D.
15.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,是三棱锥的高,,,E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若,,,求二面角的正弦值．
三、知识、方法、技能
1. 棱柱：
（1）定义：有两个面互相平行,其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.
（2）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面）,其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱.②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形,四边形,五边形…,分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…；
（3）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
（4）侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长,特别地,直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长.全面积（也称表面积）是各个表面面积之和,故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积.
2.棱锥
（1）定义:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比,截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比.
（3）棱锥的侧面积=各侧面三角形面积的和；正棱锥的侧面积＝×底面周长×斜高, 棱锥的全面积＝侧面积＋底面积.
3.球
（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.
（2）球的截面：用一平面去截一个球,设是平面的垂线段,为垂足,且,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以为半径的一个圆,截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
（3）球的表面积公式：.
4.棱柱、棱锥与球的体积
（1）棱柱：体积＝底面积×高,或体积＝直截面面积×侧棱长,特别地,直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积,为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）
（2）棱锥：体积＝×底面积×高.
（3）球的体积公式：.
5.正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
正棱台的性质：
①各侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高,斜高都相等．
②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；
③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；
④两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；
⑤正棱台的上、下底面中心的连线是棱台的一条高．
6．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以矩形的一边、直角三角形一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．
除了这两条重要特征外,还应掌握下面的一些重要属性．
①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形,若该矩形为正方形,则圆柱叫等边圆柱．
②用平行于轴的平面去截圆柱,所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形．也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形,在这所有的截面矩形中,以轴截面面积最大．
(3)圆锥的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；③过圆锥两条母线的截面．当轴截面的顶角不大于90°时,轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90°时,两母线垂直时截面面积最大．
(4)圆台的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形．
7.简单几何体与球的综合问题
= 1 \* ROMAN I.正四面体与球：如图,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取AB的中点为D,连接CD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,两个球的球心同为.此时,
则有
解得：.与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
C
B
A
D
S
O
E
= 2 \* ROMAN II.正方体与球
（1）正方体的内切球：
截面图为正方形EFGH的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为,则.
（2）与正方体各棱相切的球：
截面图为正方形EFGH的外接圆.则.（3）正方体的外接球：截面图正方形ACA1C1的外接圆.则.
A11
F
E
G
H
O
J
C
C1
A
B
D
D1
B1
= 3 \* ROMAN III. 正棱柱(锥)与外接球
以正三棱柱为例,设高为,底面边长为,如图所示.球心必落在高DD1的中点O,因为D和D1分别为正三角形的中心.直角三角形AOD,R＝AO, OD=,AD=,借助勾股定理即可求R.解决关键确定直角三角形.
= 4 \* ROMAN IV. 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球（1）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为
一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.设,则
(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(L为长方体的体对角线长).
= 5 \* ROMAN V. 各面均为直角三角形三棱锥与球
如右图,SA面ABC,ABBC,则可推出SBBC,即此三棱锥的四个面全是直角三角形.取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得：OA=OS=0B=OC,所以O点为三棱锥的外接球的球心..
6.直线与平面平行的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；
②面面平行的性质：若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.
（2）性质：如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
注意：在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
7.直线和平面垂直的判定和性质
（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直.
（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
8.平面与平面平行
（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行.
注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点,即这些直线都平行于另一个平面.
（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法,注意一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线平行.
9.两个平面垂直的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
注意：在证明两个平面垂直时,一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线,若不存在这样的直线,则可以通过添加辅助线解决,而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直,一般先用面面垂直的性质定理,即在一个平面内作交线的垂直,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
（2）性质：①如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
②两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内,二是线垂直于交线,才能有线面垂直.
(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即：
10.直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角.当直线和平面垂直时,就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时,就说直线和平面所称的角为角.
（2）范围：；
（3）求法：作出直线在平面上的射影,关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足,可根据面面垂直的性质定理来确定垂线.
（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角.
11. 二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角,而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直.
（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：；
12.利用向量处理平行问题
（1）证明线线平行,找出两条直线的方向向量,证明方向向量共线；
（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量,即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.
（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行.
13.利用向量处理垂直问题
（1）证明线线垂直,可证明两条线的方向向量的数量积为0；
（2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.
14.利用向量处理角度问题
1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a、b上分别取；或者建立空间直角坐标系用坐标表示;(2)由公式确定异面直线a与b所成角的大小.
2.求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量,并求出平面的一个法向量,若设斜线和平面所成的角为,由.
3.求二面角的向量法：方法（1）设,分别是平面的法向量,则向量和的夹角与二面角的平面角相等或互补. 方法（2）二面角的棱上确定两个点,过分别在平面内求出与垂直的向量,则二面角的大小等于向量的夹角,即
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届河北省高碑店市崇德实验中学高三上学期期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
2．（2023届福建省漳州市高三第二次质量检测）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2023届山东省临沂市郯城县高三上学期期末）已知三棱锥中，三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023届湖北省部分市州高三上学期期末联考）在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（ ）
A．B．C．D．4
5．（2023届湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P-ABC的体积为，过点A作于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P-AMN外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023届广东省茂名市高三一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
7．（2023届江苏省南通市海安市高三下学期考试）在正四棱柱中，底面边长为1，若直线与所成的角为30°，则（ ）
A．直线与直线所成的角为60°
B．直线与直线所成的角为90°
C．直线与平面所成的角为30°
D．直线与平面所成的角为60°
8．（2023届辽宁省名校联盟高三上学期12月联合考试）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则平面CEF
D．点M，N分别为线段AF，AC上的动点，点T在平面BCF内，则的最小值是
三、填空题
9．（2023届河北省石家庄市第二中学高三上学期期中）斜三棱柱中，侧面的面积为S，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为__________
10．（2023届福建省宁德市高级中学高三上学期期末）在平面四边形中，，，是以为斜边的直角三角形，将沿折起，使得点到达点的位置，若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______.
11．（2023届湖北省新高考联考协作体高三上学期期末联考）2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________．
四、解答题
12．（2023届湖南省四大名校名师团队高三模拟冲刺卷）如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
13．（2023届广东省汕头金中、湛江一中、东莞东华、广州六中四校高三下学期联考）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.
14．（2023届江苏省南通市高三下学期考试）如图，在三棱柱中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，，BC1与交于点E，平面平面ABC，，是侧棱上一点．
(1)若D为的中点，证明：平面BCD．
(2)是否存在点D，使得二面角的正弦值为？若存在，指出点D的位置；若不存在，请说明理由．
15．（2023届辽宁省名校联盟高考模拟调研卷）如图，在多面体PABCFE中，PA⊥平面ABC，，且,D为PA的中点，连接BD，PC，点M，N满足.
(1)证明：平面PEF；
(2)若，，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值．
16．（2023届海南省高三上学期期末）如图，在四棱雉中，点 都在以为直径的圆上，平面 ，M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是正三角形，，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2023届重庆市高三下学期开学摸底）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
18．（2023届河北省衡水中学高三数学能力考试）如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
五、延伸拓展
正方体中的截面问题
用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.下面给出作正方体作截面的常见方法.
一、平面作图法：
1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面．
2．作截线与截点的主要根据有：
(1)确定平面的条件．
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线．
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．
(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行．
3.作图的的主要思想方法有：
(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.
(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.
(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.
(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线.
(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.
【例17】已知：P、Q、R三点分别在正方体的棱,CC1和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面．
方法一：
(1)先过R、P两点作辅助平面.过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1,则面CRR1C1为所作的辅助平面.
(2)在面CRR1C1内延长R1C1,交RP的延长线于M.
(3)在面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T.
(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.
(5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.
方法二：
先过Q作QE∥AA1,联结RE、QR
联结AC交RE于O点
过O作FO∥QE,交QR于F点
联结PF并延长,交AA1于G
联结GQ并延长,交DD1于J
联结JP,交C1D1于H,延长线交DC延长线于K
联结KR,交BC于I
联结RGQHPC,则多边形RGQHPC为所求
方法三：
过Q作辅助平面QGHL平行于ADD1A1
联结RC1,交GH于K,联结RP.
过K作KI∥CC1交RP于I,这点便是RP与辅助平面的交点.
联结QI并延长交平面CDD1C1于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AA1于E、F
联结PM交C1D1于J
联结JREQFP,则多边形JREQFP为所求
上面我们给出了作正方体截面的方法,那么,用一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形.
探究1：截面图为三角形时,有几种情况？
可以截出等腰三角形:
如上图,一正方体被一平面所截后得到截面GEF,显然,只要BE=BF就有GE=GF, ⊿GEF就是等腰三角形所以,截到等腰三角形的情况存在.
2.可以截出等边三角形:
如上图一正方体被一平面截后得到三角形GEF,只要BE=BF=BG就有GE=EF=GF
所以,截到等边三角形的情况存在.
3.不能截出直角三角形：
若一正方体被一平面截后∠GEF是直角,由GE⊥EF及GB⊥EF,可得EF与FB重合即E点与B点重合不合实际.
探究2：如果,截面为四边形,那么,可以截出哪几类呢?
1.可以截出长方形：
【解析】过一正方体的一棱有无数个矩形,只要长宽不等,就是长方形.所以,存在这一情况.
如上图；取正方体一棱AB,作与棱AB平行的平面就可以得到一个矩形截面.
2.可以截出正方形:
正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体,就可以得到正方形截面,如图所示.
3.可以截出梯形：
【解析】用一平面从正方体上表面斜截下,与下底面相交,因为上下两底面平行,由面面平行的性质定理可得EH∥FG,只要EH≠FG,所以可截到梯形.
4.截面还可以是平行四边形或菱形
【解析】如图当AE= C1F时四边形A1ECF是菱形,调整面A1ECF的倾斜方向时四边形A1ECF可以是一般的平行四边形
探究3：截面可能是正多边形吗？可能有几种？
答：截面是正多边形有3种可能.有正三角形,正方形,正六边形.如图所示
E、F、G、H、I、J分别是所在边的中点时六边形EFGHIJ是正六边形
总结
1.用平面去截正方体能截到三角形：
（1）等腰三角形,(2)三角形,(3)普通三角形；(不能截出直角三角形)
2.用平面去截正方体能截到四边形：
（1）长方形、（2）正方形、（3）梯形、（4）平行四边形（5）菱形
3. 用平面去截正方体能截到三角形、四边形、五边形、六边形.
4.用平面截正方体可以截得的正多边形有正三角形、正方形、正六边形.
从近两年的新高考试题来看,立体几何是高考重点,一般有两道客观题,一道解答题，客观题容易题、中等题、难题都有可能，考查热点为几何体中长度、面积、体积的计算，异面直线所成角、球与几何体的切接、截面问题、几何体中平行与垂直的判断；解答题难度多为中等，属于得分题，该题一般有两问，第一问多为平行与垂直的证明，第二问多为线面角与二面角的计算.
二、三年新高考真题展示
1.（2020新高考山东卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A. 20°B. 40°
C. 50°D. 90°
2.（2020新高考山东卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
3.（2020新高考山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．4D．
5．（2021新高考全国卷Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
6．（2021新高考全国卷Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
7. （2021新高考全国卷Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
8. （2021新高考全国卷Ⅱ）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A. B.
C. D.
9. （2021新高考全国卷Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
10. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是
AB. C. D.
11.（2022新高考全国卷Ⅰ）已知正方体,则
A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为
12. （2022新高考全国卷Ⅰ）如图,直三棱柱的体积为4,的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值．
13.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A. B. C. D.
14.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,四边形为正方形,平面,,记三棱锥,,的体积分别为,则
A. B.
C. D.
15.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图,是三棱锥的高,,,E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若,,,求二面角的正弦值．
三、知识、方法、技能
1. 棱柱：
（1）定义：有两个面互相平行,其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.
（2）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面）,其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱.②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形,四边形,五边形…,分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…；
（3）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
（4）侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长,特别地,直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长.全面积（也称表面积）是各个表面面积之和,故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积.
2.棱锥
（1）定义:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比,截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比.
（3）棱锥的侧面积=各侧面三角形面积的和；正棱锥的侧面积＝×底面周长×斜高, 棱锥的全面积＝侧面积＋底面积.
3.球
（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.
（2）球的截面：用一平面去截一个球,设是平面的垂线段,为垂足,且,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以为半径的一个圆,截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
（3）球的表面积公式：.
4.棱柱、棱锥与球的体积
（1）棱柱：体积＝底面积×高,或体积＝直截面面积×侧棱长,特别地,直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积,为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）
（2）棱锥：体积＝×底面积×高.
（3）球的体积公式：.
5.正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
正棱台的性质：
①各侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高,斜高都相等．
②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；
③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；
④两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；
⑤正棱台的上、下底面中心的连线是棱台的一条高．
6．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以矩形的一边、直角三角形一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．
除了这两条重要特征外,还应掌握下面的一些重要属性．
①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形,若该矩形为正方形,则圆柱叫等边圆柱．
②用平行于轴的平面去截圆柱,所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形．也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形,在这所有的截面矩形中,以轴截面面积最大．
(3)圆锥的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；③过圆锥两条母线的截面．当轴截面的顶角不大于90°时,轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90°时,两母线垂直时截面面积最大．
(4)圆台的结构特征
①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形．
7.简单几何体与球的综合问题
= 1 \* ROMAN I.正四面体与球：如图,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取AB的中点为D,连接CD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,两个球的球心同为.此时,
则有
解得：.与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
C
B
A
D
S
O
E
= 2 \* ROMAN II.正方体与球
（1）正方体的内切球：
截面图为正方形EFGH的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为,则.
（2）与正方体各棱相切的球：
截面图为正方形EFGH的外接圆.则.（3）正方体的外接球：截面图正方形ACA1C1的外接圆.则.
A11
F
E
G
H
O
J
C
C1
A
B
D
D1
B1
= 3 \* ROMAN III. 正棱柱(锥)与外接球
以正三棱柱为例,设高为,底面边长为,如图所示.球心必落在高DD1的中点O,因为D和D1分别为正三角形的中心.直角三角形AOD,R＝AO, OD=,AD=,借助勾股定理即可求R.解决关键确定直角三角形.
= 4 \* ROMAN IV. 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球（1）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为
一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.设,则
(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(L为长方体的体对角线长).
= 5 \* ROMAN V. 各面均为直角三角形三棱锥与球
如右图,SA面ABC,ABBC,则可推出SBBC,即此三棱锥的四个面全是直角三角形.取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得：OA=OS=0B=OC,所以O点为三棱锥的外接球的球心..
6.直线与平面平行的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；
②面面平行的性质：若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.
（2）性质：如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
注意：在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
7.直线和平面垂直的判定和性质
（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直.
（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
8.平面与平面平行
（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行.
注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点,即这些直线都平行于另一个平面.
（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法,注意一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线平行.
9.两个平面垂直的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
注意：在证明两个平面垂直时,一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线,若不存在这样的直线,则可以通过添加辅助线解决,而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直,一般先用面面垂直的性质定理,即在一个平面内作交线的垂直,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
（2）性质：①如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
②两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内,二是线垂直于交线,才能有线面垂直.
(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即：
10.直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角.当直线和平面垂直时,就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时,就说直线和平面所称的角为角.
（2）范围：；
（3）求法：作出直线在平面上的射影,关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足,可根据面面垂直的性质定理来确定垂线.
（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角.
11. 二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角,而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直.
（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：；
12.利用向量处理平行问题
（1）证明线线平行,找出两条直线的方向向量,证明方向向量共线；
（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量,即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.
（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行.
13.利用向量处理垂直问题
（1）证明线线垂直,可证明两条线的方向向量的数量积为0；
（2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.
14.利用向量处理角度问题
1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a、b上分别取；或者建立空间直角坐标系用坐标表示;(2)由公式确定异面直线a与b所成角的大小.
2.求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量,并求出平面的一个法向量,若设斜线和平面所成的角为,由.
3.求二面角的向量法：方法（1）设,分别是平面的法向量,则向量和的夹角与二面角的平面角相等或互补. 方法（2）二面角的棱上确定两个点,过分别在平面内求出与垂直的向量,则二面角的大小等于向量的夹角,即
四、新高考地区最新模拟试题精选
一、单选题
1．（2023届河北省高碑店市崇德实验中学高三上学期期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A．B．C．D．
2．（2023届福建省漳州市高三第二次质量检测）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2023届山东省临沂市郯城县高三上学期期末）已知三棱锥中，三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023届湖北省部分市州高三上学期期末联考）在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（ ）
A．B．C．D．4
5．（2023届湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P-ABC的体积为，过点A作于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P-AMN外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023届广东省茂名市高三一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
7．（2023届江苏省南通市海安市高三下学期考试）在正四棱柱中，底面边长为1，若直线与所成的角为30°，则（ ）
A．直线与直线所成的角为60°
B．直线与直线所成的角为90°
C．直线与平面所成的角为30°
D．直线与平面所成的角为60°
8．（2023届辽宁省名校联盟高三上学期12月联合考试）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则平面CEF
D．点M，N分别为线段AF，AC上的动点，点T在平面BCF内，则的最小值是
三、填空题
9．（2023届河北省石家庄市第二中学高三上学期期中）斜三棱柱中，侧面的面积为S，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为__________
10．（2023届福建省宁德市高级中学高三上学期期末）在平面四边形中，，，是以为斜边的直角三角形，将沿折起，使得点到达点的位置，若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______.
11．（2023届湖北省新高考联考协作体高三上学期期末联考）2022年12月3日，南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点，如图（2）所示．分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________．
四、解答题
12．（2023届湖南省四大名校名师团队高三模拟冲刺卷）如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
13．（2023届广东省汕头金中、湛江一中、东莞东华、广州六中四校高三下学期联考）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.
14．（2023届江苏省南通市高三下学期考试）如图，在三棱柱中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，，BC1与交于点E，平面平面ABC，，是侧棱上一点．
(1)若D为的中点，证明：平面BCD．
(2)是否存在点D，使得二面角的正弦值为？若存在，指出点D的位置；若不存在，请说明理由．
15．（2023届辽宁省名校联盟高考模拟调研卷）如图，在多面体PABCFE中，PA⊥平面ABC，，且,D为PA的中点，连接BD，PC，点M，N满足.
(1)证明：平面PEF；
(2)若，，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值．
16．（2023届海南省高三上学期期末）如图，在四棱雉中，点 都在以为直径的圆上，平面 ，M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是正三角形，，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2023届重庆市高三下学期开学摸底）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
18．（2023届河北省衡水中学高三数学能力考试）如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
五、延伸拓展
正方体中的截面问题
用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.下面给出作正方体作截面的常见方法.
一、平面作图法：
1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面．
2．作截线与截点的主要根据有：
(1)确定平面的条件．
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线．
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．
(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行．
3.作图的的主要思想方法有：
(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.
(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.
(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.
(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线.
(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.
【例17】已知：P、Q、R三点分别在正方体的棱,CC1和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面．
方法一：
(1)先过R、P两点作辅助平面.过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1,则面CRR1C1为所作的辅助平面.
(2)在面CRR1C1内延长R1C1,交RP的延长线于M.
(3)在面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T.
(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.
(5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.
方法二：
先过Q作QE∥AA1,联结RE、QR
联结AC交RE于O点
过O作FO∥QE,交QR于F点
联结PF并延长,交AA1于G
联结GQ并延长,交DD1于J
联结JP,交C1D1于H,延长线交DC延长线于K
联结KR,交BC于I
联结RGQHPC,则多边形RGQHPC为所求
方法三：
过Q作辅助平面QGHL平行于ADD1A1
联结RC1,交GH于K,联结RP.
过K作KI∥CC1交RP于I,这点便是RP与辅助平面的交点.
联结QI并延长交平面CDD1C1于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AA1于E、F
联结PM交C1D1于J
联结JREQFP,则多边形JREQFP为所求
上面我们给出了作正方体截面的方法,那么,用一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形.
探究1：截面图为三角形时,有几种情况？
可以截出等腰三角形:
如上图,一正方体被一平面所截后得到截面GEF,显然,只要BE=BF就有GE=GF, ⊿GEF就是等腰三角形所以,截到等腰三角形的情况存在.
2.可以截出等边三角形:
如上图一正方体被一平面截后得到三角形GEF,只要BE=BF=BG就有GE=EF=GF
所以,截到等边三角形的情况存在.
3.不能截出直角三角形：
若一正方体被一平面截后∠GEF是直角,由GE⊥EF及GB⊥EF,可得EF与FB重合即E点与B点重合不合实际.
探究2：如果,截面为四边形,那么,可以截出哪几类呢?
1.可以截出长方形：
【解析】过一正方体的一棱有无数个矩形,只要长宽不等,就是长方形.所以,存在这一情况.
如上图；取正方体一棱AB,作与棱AB平行的平面就可以得到一个矩形截面.
2.可以截出正方形:
正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体,就可以得到正方形截面,如图所示.
3.可以截出梯形：
【解析】用一平面从正方体上表面斜截下,与下底面相交,因为上下两底面平行,由面面平行的性质定理可得EH∥FG,只要EH≠FG,所以可截到梯形.
4.截面还可以是平行四边形或菱形
【解析】如图当AE= C1F时四边形A1ECF是菱形,调整面A1ECF的倾斜方向时四边形A1ECF可以是一般的平行四边形
探究3：截面可能是正多边形吗？可能有几种？
答：截面是正多边形有3种可能.有正三角形,正方形,正六边形.如图所示
E、F、G、H、I、J分别是所在边的中点时六边形EFGHIJ是正六边形
总结
1.用平面去截正方体能截到三角形：
（1）等腰三角形,(2)三角形,(3)普通三角形；(不能截出直角三角形)
2.用平面去截正方体能截到四边形：
（1）长方形、（2）正方形、（3）梯形、（4）平行四边形（5）菱形
3. 用平面去截正方体能截到三角形、四边形、五边形、六边形.
4.用平面截正方体可以截得的正多边形有正三角形、正方形、正六边形.
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