新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题04 导数（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 复合函数求导错误
注意：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即．
例1．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数的导函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【详解】依题知，，即，
由求导公式：，
复合函数的求导法则：设，则
得：，
故选：D.
例2．（2023·高三课时练习）下列求导运算过程中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的求导法则逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选:A.
易错点二 混淆两类切线的概念
注意：曲线在点处的切线” 为切点且在曲线上，而“过点的切线”仅能说明点在曲线的切线上
例3．（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．－1B．－2C．－3D．0
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.
【详解】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
故选：C
例4．（2023·山东德州·统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.
【详解】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（ ）条
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入方程，即可求得答案.
【详解】由可得，
过坐标原点作曲线的切线，设切点为，则切线斜率为，
切线方程为，又，
所以，即，
所以，即切线有1条.
故选：B.
易错点三 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
注意：导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
例7．（2022·全国·高三专题练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】D
【分析】根据题意先判断导数的符号，进而确定原函数的单调性和极值.
【详解】当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故三次函数在上单调递增，在上单调递减，
可得的极大值为，极小值为.
故选：D.
例8．（2022秋·河北石家庄·高三校考期末）函数的图象如图，则导函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据原函数的单调性和导函数的关系即可求解.
【详解】由导数的几何意义可知，为常数，且.
故选：.
易错点四 “导数为0”与“有极值”不等价
注意：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断
例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.
【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
例10．（2022秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得最大值D．在处取得极大值
【答案】D
【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；
在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.
故选：D
例11．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数，若在处取到极小值，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】对参数进行分类讨论，在每种情况下分别判断函数的极值，进而找出符合题干条件的情况，最终求出参数的取值范围.
【详解】已知，解得或.
若时，则恒成立，即此时为常数，没有极值，故；
若时，则，此时函数在定义域内单调递减，没有极值，故；
若时，由，得，此时单调递增，
由，得或，此时函数单调递减，
即函数在处取得极大值，不满足条件；
若，由，得，此时单调递增，
由，得或，此时函数单调递减，
即函数在处取得极小值，满足条件；
若，由，得或，此时单调递增，
由，得，此时函数单调递减，
即函数在处取得极大值，不满足条件.
综上所述参数的取值范围是.
故答案为：
易错点五 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
注意：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0
例12．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)若 在上单调递增，求a的取值范围；
【答案】(1)
【分析】（1）利用单调性与导函数正负的关系即可求解，
【详解】（1），
因为在上单调递增,则当时，，，即
而当时，，则有，
所以若在上单调递增，a的取值范围是
例13．（2023·陕西汉中·统考二模）设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.
【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，
∴恒成立；
∴，，
∵，，
，当且仅当时取等号.
∴，
∴，即：k的取值范围是．
故答案为：.
例14．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，问题转化为，而求出最小值，从而求出a的范围即可．
【详解】，在内成立，所以，
由于，所以，，所以．
故答案为:
易错点六 混淆单变量与双变量问题
注意：双变量不能直接看成一个变量
（1）恒成立问题
①∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)maxg(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；
④∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)A；②∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x)ming(x2)成立,则f(x)max>g(x)min；
④∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)g(x)min；
②∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)