新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题03 函数性质与基本初等函数（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 不理解函数的概念
注意：函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多.
例1．（2023春·高三校考开学考试）（多选）下列各图是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..
【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以B不是函数图象，AC D是函数图象.
故选：ACD.
例2．（2022秋·北京·高一校考期中）已知集合，，请用解析式法写出一个从集合到集合的函数（注意不要写常数函数和分段函数形式，并注意定义域）__________________.
【答案】，（答案不唯一）
【分析】根据函数的定义，写出一个符合的函数即可.
【详解】根据函数的定义，集合A中没有剩余元素，且应满足对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.
可取，可知，，，显然1，2，3都是集合B中的元素.
故答案为：，（答案不唯一）
易错点二 求定义域时对解析式变形导致自变量范围扩大
注意：定义域必须看根据原来解析式的限制进行求解
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________．
【答案】（且）
【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.
【详解】由，
令，（且，且），
则，（且），
∴（且）,
∴（且）.
故答案为：（且）.
例4．（2022秋·浙江温州·高三统考期中）已知，则__________；的定义域为__________．
【答案】
【分析】利用换元法可得函数的函数解析式及定义域，进而可得函数值.
【详解】设，则
由已知得，所以，，
所以，
所以函数，定义域为，
则，
故答案为：，.
易错点三 忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
注意：求复合函数定义域类型为：
①若已知的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出即可；
②若已知的定义域为 ,求的定义域，相当于时，求的值域（即的定义域）。
例5．（2022秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是____________.
【答案】
【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，
由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：.
例6．已知函数,求函数的值域
设函数的值域是
易错点四 忽略的系数为0的情况
注意：的系数直接影响了函数的类型
例7．（2022秋·高一单元测试）若函数在上恰有一个零点，则实数的取值范围是________
【答案】.
【分析】先确定当时，不满足条件；再看时，利用二次函数的零点存在定理进行求解.
【详解】在上恰有一个零点，显然.
有两种情形：
①，得，得；
②且方程的根在内，
令，得，，得，
此时的根.
综上知，即实数的取值范围为.
例8．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数,若函数在为单调函数，则a的取值范围_______
【详解】①当a＝0时，在上单调递减，符合题意；
②当时，对称轴，由题意得或，∴或，
综上，所求a的取值范围是．
易错点五 分段函数问题
注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况
例9．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】CD
【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．
【详解】由函数是上的增函数，
所以
所以，
故选：CD．
例10．（2022秋·江西抚州·高二统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D.
易错点六 求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域
注意：函数若定义域不为R，需求解
例11．（2021秋·上海静安·高三上海市市西中学校考阶段练习）若函数的反函数记作为，则___________.
【答案】
【分析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】由，得，由，得，
所以.
故答案为：.
例12．（2023秋·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）函数的反函数为______.
【答案】
【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函数的反函数.
【详解】由题意可得在上递减，故，
则，
故函数的反函数为，
故答案为：
易错点七 使用换元法,使变量范围扩大致误
注意：使用换元法,设,则t的范围由的值域确定
例13．（2022秋·安徽合肥·高三校考期末）（多选）已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是，值域是
B．f(x)的单调减区间是(1，3)
C．f(x)的定义域是，值域是
D．f(x)的单调增区间是(-∞，1)
【答案】AB
【分析】先根据被开方数大于等于零，求出函数定义域，再结合二次函数的对称性求出函数的值域并判断函数的单调性，逐一判断各选项即可.
【详解】已知函数，
对于A、C，令，则，解得，定义域为.
，又，函数的值域为，故A正确，C错误；
对于B、D，函数定义域为，函数的对称轴为，所以在区间单调递增，在区间上单调递减，故B正确，D错误；
故选：AB.
例14．（2022秋·北京朝阳·高三校联考阶段练习）函数的定义域是_______，值域是___________．
【答案】
【分析】（1）由真数大于0解不等式即可求得定义域；
（2）利用换元法即可求得值域.
【详解】（1）因为，
所以，解得：，
所以的定义域是.
（2）设，
则，所以，
由图像可知：，
即函数的值域为.
故答案为：；.
易错点八 单调性求参数范围忽略定义域
注意：研究函数性质,首先要关注函数定义域
例15．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）（多选）已知函数在上单调递减，则a的取值范围错误的是（ ）
A．0