新高考数学三轮冲刺练习查补易混易错点03 函数与导数（2份，原卷版+解析版）

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高考函数与导数试题，都是高考考察的主要内容，在高考中占据较大的分值，在试题中，既有单独的一道导数压轴大题，也有2个或者3个选填小题，近几年有更多的题型的趋势，并且还有许多导数函数数学思维与数学解题技巧的应用分散在数列，解析几何，立体几何，三角函数，概率等等题型中。在新高考改革的背景下，函数和导数的考察在数学关键能力和数学素养方面保持稳定，试题起点低，层次多，落差大，试题源于教材，又在教材基础上有创新。考察函数的性质与应用，抽象函数的奇偶性，对称型，单调性，周期型，以及与具体函数的数形结合等等。
比较大小
求“在点”、“过点”等各类型切线
求函数零点个数，零点范围
由函数零点求参
求最值，极值，与值域，范围
单调性，奇偶性，周期性，对称性等性质应用
不等式恒成立或存在求参
利用导数证明函数不等式
易错点1：忽视（漏）函数定义域时条件考虑不全
易错点2：忽视（漏）判断函数奇偶性时需要先判断定义域
易错点3：忽视（漏）复合函数定义域时内外函数之间的互相限制
易错点4：忽视（漏）抽象函数的定义域
易错点5：忽视（漏）求函数单调区间时函数及复合函数的定义域
易错点6：忽视（漏）换元为一元二次函数时需考虑定义域
易错点7：忽视（漏）应用分段函数时各段定义域限制
易错点8：忽视（漏）分段函数单调性时两段分界点函数值的比较
易错点9：忽视（漏）指数函数存在“渐近线”影响值域范围
易错点10：忽视（漏）两类切线“过与在”的区别
易错点11：忽视（漏）导数求极值时需验证“导函数变号”
易错点12：忽视（漏）函数零点定理的准确理解
易错点13：忽视（漏）多个单调区间之间不能用并集符号链接，要用逗号
易错点14：忽视（漏）“导数值正负”与“函数单调性”之间的关系
易错点15：忽视（漏）求导对参数分类讨论的讨论分界点全面性
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
2．（2023·云南·统考二模）设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围.
【详解】由题意知，函数开口方向向上，
若，则函数须同时满足三个条件：
当时，，代入解得，恒成立；
当时，，代入解得；
当时，，代入解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
3．（2023·湖南张家界·统考二模）函数的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选：C.
4．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）关于的方程的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】令，化简可得，利用二次方程的性质可得有且只有一个正根， 再根据指数函数单调性得出的解的个数.
【详解】解：原方程即，化简可得，令，可得，该方程有且只有一个正根，由于单调递增，所以与一一对应，即原方程只有一个解.
故选：.
5．（2022秋·高三课时练习）函数，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件结合对数的运算可知，再将所求化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可.
【详解】因为且，所以，所以，
所以，所以．所以，
对勾函数在上为减函数，所以，
所以的取值范围为.
故选：D．
6．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
7．（湖北省部分高中联考协作体2022-2023学年高三下学期期中数学试题）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导得，即，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可.
【详解】解：由，可得，
所以，即，
当时，，当时，，
所以角的范围是.
故选：B.
8．（2023春·湖北·高三湖北省鄂州高中校联考期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.
【详解】已知函数，则
有且只有一个负整数解.
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
当时，取得最小值为.
设，则恒过点
在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示
显然，依题意得且即
且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
二、多选题
9．（2022秋·高三单元测试）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】CD
【分析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】因为函数的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
对于A，因为，
所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，因为，
所以函数是偶函数，故B错误；
对于C，因为，
所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以函数是偶函数，故D正确.
故选：CD.
10．（2022秋·高三单元测试）若直线与函数，且的图像有两个公共点，则的可能性取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以.
综上，的取值范围是
故选：AB
11．（2022秋·高三单元测试）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】CD
【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．
【详解】由函数是上的增函数，
所以
所以，
故选：CD．
12．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】ACD
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；
对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；
对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；
对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，则切线的斜率
化简，
得
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
令，解得或，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
14．（2022秋·高三单元测试）已知函数与在区间上都是减函数，那么__________.
【答案】.
【分析】二次函数在区间单减，则区间在二次函数的减区间范围内，从而求得的范围；反比例型函数在区间单调递减，得，取交集即可.
【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，
是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以.
所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.
故答案为:..
15．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设，，，则____ > ______ > ______(填a，b，c)．
【答案】 c a b
【分析】由，，故考虑构造函数，利用导数判断该函数的单调性，由此比较的大小，利用对数函数的单调性，结合，证明，由，根据幂函数的性质证明，由此比较大小，由此可得结论.
【详解】因为，，
设，则，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，所以，
故，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，故，
又，因为函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：；；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据数据之间的联系，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小.
16．（2023·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则实数x的范围为______．
【答案】.
【分析】由题，有.利用导数可得，则可得.
后将看成关于m的函数，后分类讨论
在三种情况下的最大值与0的大小即可.
【详解】恒成立，
等价于.
令，，则，
注意到时，，，时，.
则在上单调递减，在上单调递增，则.
则，则
.
令，.
当，，故满足条件；
当，则在上单调递减，故
.
令，.
则，得在上单调递增，
时，，因此时无最值，且，.
则不合题意；
当，在上单调递增，故
.
令.
则.
令，.
则，故在上单调递减，
则，则在上单调递增，
则，则符合题意.
综上，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量与恒成立，难度较大.
恒成立问题常转化为最值相关问题，本题因告知m范围，求x范围，故还采取了变换主元的做题方法.
四、解答题
17．（2023春·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求的导数；
(2)求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
【答案】(1)，
(2)；面积为
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为．
当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积.
18．（2023春·四川成都·高三统考期中）已知函数在处取得极大值.
(1)求的值；
(2)当时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）求导得，根据函数极值与导数的关系得到关于方程组，解出并检验即可；
（2）直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值.
【详解】（1），且函数在处有极值1，
，解得.
又当时，
当或时，，
当时，，
故在处取得极大值，满足题意.
综上，.
（2）当，时，．则．
当变化时，与的变化情况如下表：
所以时，的最大值为.
19．（2022陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)函数在定义域内不是单调函数，理由见解析
【分析】（1）首先不等式变形为，再构造函数，利用导数判断函数的最小值，即可证明不等式；
（2）首先求函数的导数，并设，利用导数判断判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，即可判断.
【详解】（1）证明：函数的定义域是，当时，，
欲证，即证，即证.
令，则，
当变化时，，的变化情况如下表：
∴函数的最大值为，故.
∴
（2）函数在定义域内不是单调函数
理由如下：，令，则，
∴在上单调递减.注意到，且，
∴存在，使得，当时，，从而，
∴函数在上单调递增；当时，，从而，
∴函数在上单调递减.故函数在定义域内不是单调函数
20．（2023春·四川成都·高三统考期中）设函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间；
（2）采用分离变量法可得，令，利用导数可求得，由此可得的范围.
【详解】（1）当时，，，
则当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由得：，
当时，，，
令，则；
令，则，
，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
21．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知.
(1)若在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围；
(2)若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数的单调性即可得出；
（2）根据题意可得，构造函数，利用导数即可证明.
【详解】（1）由题意得，，，
①当时，在上单调递增，
所以当x＜0时，，在单调递减；
当x＞0时，，在单调递减；
所以在x＝0处取得极小值，符合题意．
当时，由可得，由可得，
②当0＜a＜1时，，在单调递增，在单调递减，
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在x＝0处取得极小值，符合题意．
③当a＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在处取得最小值，即，
所以函数在R上单调递增，
所以在x＝0处无极值，不符合题意．
④当a＞1时，，由①知的减区间为，
所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；
所以在x＝0处取得极大值，不符合题意，
综上可知，实数a的取值范围为．
（2）为的零点，则，，，
，
令，构造函数，
由②知，当时，，即.
则，
所以在单调递减，故．
故，故原不等式得证．
【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.
22．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考期中）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析.
(2)
【分析】（1）分类讨论，两种情况，由导数得出单调性 ；
（2）将变形为，构造函数，由其单调性得出，进而由导数得出的最大值，从而得出求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
当时，由，得，由，得，且，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，由，得，且，由，得，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）易知，.
由，可得，
所以恒成立，即恒成立.
设，，则，所以在上单调递增.
当时，，所以恒成立等价于恒成立，
即对恒成立.
设，，.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将整理成的形式，构造函数，由其单调性以及得出，最后求出的最大值，得出a的取值范围.
1
单调递减
极小值
单调递增
5
1
+
0
-
↗
极大值
↘