新高考数学一轮复习方法技巧与题型归纳训练 专题08 幂函数与二次函数（2份，原卷版+解析版）

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1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
O
图2-9
O
图2-8
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【方法技巧与总结】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义及其图像
题型二：幂函数性质的综合应用
题型三：二次方程的实根分布及条件
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【典例例题】
题型一：幂函数的定义及其图像
例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【方法技巧与总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10．（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【方法技巧与总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
【方法技巧与总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：
，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
【方法技巧与总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．、或
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且1
C．m是偶数，n是奇数，且1
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）设点满足．则点（ ）
A．只有有限个B．有无限多个
C．位于同一条直线上D．位于同一条抛物线上
三、填空题
13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
16．（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.
(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；
(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，
(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；
(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根