新高考数学二轮复习考点专题突破练习第13讲 半分离参数、全分离参数与分离函数（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，若，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由，且恒成立，
得恒成立，即在，上恒成立．
令，则．
令，则，
则在，上单调递减，
（3），（4），
存在，使得，即，
，
当时，，即，单调递增；
当，时，，即，单调递减．
，
又，，
则，即．
．
，即实数的取值范围为，．
故选：．
例2．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ， ．
【解析】解：当时，（1）恒成立，；
当时，化为恒成立，
，
，，
，
，
当且仅当即时取等号．
；
当时，化为恒成立．
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
（e），
．
综上，，．
故答案为，．
例3．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
，设，
因为，可得在上递增，即在上递增，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，恒成立，
①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，
设，则
，
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在递增，
在递增，
所以，
即恒成立，即在递增，所以，
再令，可得，当时，，在递增；
时，，在递减，所以（2），
所以，
综上可得的取值范围是，．
例4．已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），
由得或，
当时，由，得或，
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，由，得或，
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，则在上单调递增．
综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增．
（2）由可转化为，
令，
，
令，，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，在内存在唯一零点，
当时，，，单调递减，
当，时，，，单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
例5．设函数．
（Ⅰ）设函数，讨论的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，
又（1），当时，，
在和上各存在一个零点，
有2个零点．
（2）令，，
则，
令可得，解得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
又，，且在上恒成立，
．
例6．已知函数，．
，时，证明：；
（Ⅱ），若，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）函数，，
令，，
在内，，单减；在内，，单增．
所以的最小值为，即，
所以在内单调递增，即．
（Ⅱ）令，则，
令，．
由（Ⅰ）得，则在上单调递减．
（1）当时，且．
在上，单调递增，在上，单调递减，
所以的最大值为，即恒成立．
（2）当时，，
时，，解得．
即，时，单调递减，
又，所以此时，与恒成立矛盾．
（3）当时，，
时，，解得．
即， 时，单调递增，
又，所以此时，与恒成立矛盾．
综上，的取值为1．
例7．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，且，
令，
当时，，
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当且时，（1），，
函数在上单调递增，在上单调递增．
（2），，
问题等价于对于任意恒成立，
，
令，
在上单调递增，在上单调递减，
，，，
令，
在上单调递减，，
，综上所述，的取值范围为．
例8．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围
【解析】解：（1），
当时，，则，
（1），
又（1），
所求切线方程为：，即．
（2）由题意得：的定义域为，
；
有两个零点，
在上有两个不等实根；
即在上有两个不等实根，，
令，转化为与的图象在有两个不同的交点，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
；
又，当时，，
可得的大致图象如图所示，
由图象可知：若与的图象在有两个不同的交点，需满足，
即实数的取值范围为：．
例9．已知函数，是常数．
（1）若，求在点，（2）处的切线方程；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
（参考公式：
【解析】解：（1）由，，（1分）
（2）（2分），又（2）
曲线在点，（2）的切线为（4分），
即在点，（2）的切线为；（5分）
（2）由得（6分），
对，，所以（8分），
设，则（10分），
在区间单调递减（11分），
，的取值范围为（14分）．
【同步练习】
一．选择题
1．当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：当时，不等式对任意恒成立；
当时，可化为，
令，则，
当时，，在，上单调递增，
（1），；
当时，可化为，
由式可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，；
综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，．
故选：．
2．，，使不等式成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：当时，不等式对任意恒成立；
当时，可化为，
令，
则，
当时，，在，上单调递增，
（1），；
当时，可化为，
由式可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，；
综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，．
故选：．
3．设函数，对任意，，恒成立，则实数的取值范围是
A．，，B．
C．D．不能确定
【解析】解：由得，对任意，恒成立．
整理得恒成立，即恒成立．
显然，
①当时，，显然当时最小为2，即，
解得或．所以符合题意．
②当时，，此时无最大值，所以不成立．
综上，所求实数的范围是．
故选：．
二．解答题
4．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
所以，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
（2）由题意得，时，恒成立，
即恒成立，
所以，
令，，
由重要不等式可知，当时，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以（1），
所以，即，
所以的范围为．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：当时，，
则在上单调递增，
又，
故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，不等式恒成立，
当时，由恒成立可得恒成立，
令，，
则，
令，则，
令，，则，
所以在上单调递增，，
所以，在上单调递增，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以（2），
所以，
故的取值范围为．
6．（1）若曲线的一条切线为，其中，为正实数，求的取值范围．
（2）已知函数．
①当时，讨论的单调性；
②当时，，求的取值范围．
【解析】解：（1），设切点，则，
则，
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的取值范围是，．
（2）①，，，
令，则，
故在上单调递增且，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
②由题意得，，
当时，显然满足题意；
当时，可得，
令，则，
令，，
则，，
所以在上单调递增，故，
故在时单调递增，，
令得，，
令得，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故（2），
所以，
故．
7．已知函数，其中．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），，
令，，
时，，即，
在递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，
在，递增；
（2）时，显然成立，
时，问题转化为在恒成立，
令，则，
令，，
则，
故（1），
故在递减，
而，
故．
8．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
【解析】解：，
所以．
考虑函数，
则
设，由知，
当时，．而（1），故
当时，，可得；
当时，，可得
从而当，且时，，
即．
设．由于当时，，故，而
（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
设．此时，而（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
综合得，的取值范围为，．
9．设函数．
（1）求的极值点；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）因为，，
所以，
令可知，
当或时，，当时，，
所以在，，上单调递减，在，上单调递增；
故是极小值点，是极大值点；
（2）由题可知．下面对的范围进行讨论：
①当时，设函数，则，
因此在，上单调递减，
又因为，所以，
所以；
②当时，设函数，则，
所以在，上单调递增，
又，所以．
因为当时，
所以，
取，则，
所以，矛盾；
③当时，取，则，矛盾；
综上所述，的取值范围是，．
10．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）定义域，
由已知得：，（1），（1），
故切线方程为，
即．
（2），，
令，则由
，解得，
当变化时，，变化如下：
在有唯一极值，且是极大值，则此极大值即最大值．
所以（1），
所以，
故所求的范围是，．
11．已知的定义域为，且是奇函数，当时，若（1）（3），（2）．
（1）求，的值；及在时的表达式；
（2）求在时的表达式；
（3）若关于的方程有解，求的取值范围．
【解析】解：（1）（1）（3），函数图象的对称轴，得，
又（2），，
当时，．
（2）由（1）得，当时，
当时，，，
是奇函数，
当时，．
（3）由题意，只需在上有解，，
即的取值范围是，．
12．已知函数，（注为自然对数的底数）
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）如果对所有的，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）解：，
，，
由，得，
当时，；，，．
，
的最小值为．
（Ⅱ）解：时，恒成立
当上式取等号显然恒成立
当，问题等价于，，
其中，
，，
记，
，，知在上单调递增，
又在处连续，则，，
于是有，，知在上单调递增
，
由，得到的取值范围，．
13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数，对于任意，，，，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当时，，
（1），又因为（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为：．
（Ⅱ）函数，，，，
由题意可得：，对，恒成立，
可转化为：，
设，
，
设，则，所以在区间，上单调递增，
又（1），，存在唯一的，使得．
当时，，当，时，，又因为，
所以，又，
，，
故实数的取值范围为．
14．已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），
当时，，在上单调递增；
当时，，，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）由题意知，时，恒成立，即恒成立，
即，只需，
令，则．
令，则．
，，，在，上单调递增，
，因此，故在，上单调递增，
则，所以，实数的取值范围是．1
0
单调递增
极大值
单调递减