2025年山东省潍坊市中考数学模拟试卷（一）

这是一份2025年山东省潍坊市中考数学模拟试卷（一），共33页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）2024年巴黎奥运会完美闭幕，以下四个奥运项目图标分别表示艺术体操、游泳、羽毛球、乒乓球，请你找出符合轴对称的图标（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）孔明锁，亦称作八卦锁、鲁班锁，是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器．如图是一种孔明锁的一个组件，则该组件的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．45×108B．4.5×109C．4.5×108D．4.5×1010
4．（4分）某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（ ）
A．第4名B．第3名C．第2名D．第1名
5．（4分）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（ ）
A．333英尺B．33313英尺C．400英尺D．40013英尺
6．（4分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，每题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选得0分，共计20分。
（多选）7．（5分）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）
A．abc＞0B．a+c＜b
C．|a|a+|b|b+|c|c=−1D．b＜c＜﹣a＜0＜a＜﹣c＜﹣b
（多选）8．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论正确的是（ ）
A．DE＝DFB．DE+DF＝AD
C．DM平分∠EDFD．AC＝2AE﹣AB
（多选）9．（5分）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：a=12(m2−n2)，b＝mn，c=12(m2+n2)（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（ ）
A．12B．24C．30D．40
（多选）10．（5分）如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A′、B′、C′、D′四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为32a；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少a2−32a2．其中正确的为（ ）
A．①B．②C．③D．④
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，直接写出最终结果，共计16分。
11．（4分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝5，则a+b2025+(−cd)2025+m2的值为 ．
12．（4分）“羽翼绘传奇，斗志铸辉煌”——12月6日，2024年信鸽“国家赛”秋赛圆满落幕！某信鸽俱乐部打算从该俱乐部信鸽群中本次获得前四名的4只信鸽中随机选择2只参加地方竞赛，则选中的恰好是第一名信鸽和第二名信鸽的概率为 ．
13．（4分）一个棱柱的三视图如图所示，若EF＝6cm，∠EFG＝45°．则AB的长为 cm．
14．（4分）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 ．
四、解答题：本题共8小题，每小题分值标注在题号后，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共计90分。
15．（10分）（1）计算：(12)0−16+(−2)2；
（2）先化简，再求值：(xx−2−1x−2)÷x2−xx2−4，其中x=2．
16．（10分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度；
（2）若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
（3）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）已知菱形ABCD的对角线AC＝24，点E、F分别是菱形的边CD、BC的中点，连接EF，若EF＝5，求菱形的周长．
18．（12分）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点．
（1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积．
（2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（10分）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
（1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
（2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
21．（14分）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表：
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式．
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是ℎ=ℎ0−12gt2，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）．
22．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
2025年山东省潍坊市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，每题只有一个选项符合题意，共计24分。
1．（4分）2024年巴黎奥运会完美闭幕，以下四个奥运项目图标分别表示艺术体操、游泳、羽毛球、乒乓球，请你找出符合轴对称的图标（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（4分）孔明锁，亦称作八卦锁、鲁班锁，是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器．如图是一种孔明锁的一个组件，则该组件的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合从左边看物体得到的图形求解即可．
【解答】解：根据时间得，该组件的左视图为：
，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．（4分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．45×108B．4.5×109C．4.5×108D．4.5×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4500000000＝4.5×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（ ）
A．第4名B．第3名C．第2名D．第1名
【分析】根据中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，再根据中国创新产出排名为第11名在另一排名中找到创新效率排名为第3名即可．
【解答】解：如图，
由左图得，中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，
由右图得，中国创新产出排名为第11名，创新效率排名为第3名．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，理解题意是解题的关键．
5．（4分）在凡尔纳的小说《神秘岛》中，有一段工程师和赫伯特一起测量瞭望塔的高度的情节．工程师先做了一个悬垂，其实就是在绳子的一端栓了一块石头，工程师让赫伯特拿着，然后拿起一根木杆，长度大概为12英尺，两个人一前一后向瞭望塔走去，两个人来到距离瞭望塔485英尺的一个地方，工程师把木杆的一头插到土里，插下去的深度大概是2英尺，接着，工程师从赫伯特手里结果悬垂，对木杆进行校正，知道木杆完全竖直，之后对木杆插到土里的部分进行固定，固定好木杆后，工程师朝着远离木杆的方向走了15英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛离木杆15英尺），并且让自己的眼睛能够正好通过木杆的尖端看到瞭望塔的最顶端，工程师在这个点上做了一个标记，如图所示，请你求出此时瞭望塔的高度是（ ）
A．333英尺B．33313英尺C．400英尺D．40013英尺
【分析】由题意作图，AB为瞭望塔，DE为木杆，工程师在C点，求出BC，DE的长，再根据三角函数即可求解．
【解答】解：由题意可作图如下：AB为瞭望塔，DE为木杆，工程师在C点，
则有BE＝485英尺，CE＝15英尺，
∴BC＝BE+CE＝500英尺，
∵木杆有2英尺插入了土中，
∴DE＝12﹣2＝10（英尺），
∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴tan∠C=ABBC=DECE=1015=23，
则AB500=23，
解得：AB=10003=33313，
即瞭望塔高度为33313英尺，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
6．（4分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．
在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，每题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选得0分，共计20分。
（多选）7．（5分）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）
A．abc＞0B．a+c＜b
C．|a|a+|b|b+|c|c=−1D．b＜c＜﹣a＜0＜a＜﹣c＜﹣b
【分析】先由数轴观察得出b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|，据此逐项计算验证即可．
【解答】解：∵由数轴可得：b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|，
A、∴abc＞0，故正确；
B、a+c＞b，故错误；
C、原式＝﹣1，正确；
D、b＜c＜﹣a＜0＜a＜﹣c＜﹣b，故正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了利用数轴进行的相关计算，数形结合并明确绝对值等的化简法则是解题的关键．
（多选）8．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论正确的是（ ）
A．DE＝DFB．DE+DF＝AD
C．DM平分∠EDFD．AC＝2AE﹣AB
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF，由直角三角形的性质可证DE＝DF＝AD，由HL可证Rt△ADE≌Rt△ADF，Rt△BDE≌Rt△CDF可得AE＝AF，BE＝CF，可得AC＝2AE﹣AB，即可求解．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF，故选项A符合题意；
∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED=12AD，
同理：DF=12AD，
∴DE+DF＝AD，故选项B符合题意；
由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°，
假设MD平分∠EDF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝60°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝120°．
∴∠ABC＝60°．
∵∠ABC是否等于60°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，故选项C不符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝AF，
∵DM垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
∴AC＝AF+CF＝AE+BE＝2AE﹣AB，故选项D符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（多选）9．（5分）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：a=12(m2−n2)，b＝mn，c=12(m2+n2)（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（ ）
A．12B．24C．30D．40
【分析】由n＝1，得到a=12（m2﹣1）①，b＝m②，c=12（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．
【解答】解：当n＝1，a=12（m2﹣1）①，b＝m②，c=12（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴分三种情况：
①当a＝5时，12（m2﹣1）＝5，
∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；
②当b＝5时，即m＝5，
把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13，
此时三角形的周长＝12+13+5＝30；
③当c＝5时，12（m2+1）＝5，
∴m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
将m＝3代入①②得，a＝4，b＝3，
此时三角形的周长＝4+3+5＝12，
综上所述，直角三角形的周长为12或30．
故选：AC．
【点评】本题考查了勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键
（多选）10．（5分）如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A′、B′、C′、D′四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为32a；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少a2−32a2．其中正确的为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】连接AC交BD于点O，先求出甲的株距为a，行距为32a，乙的行距为a，可判断①②；先计算出S菱形=2×12×BD×AO=12a⋅3a=32a2，S正方形A′B′C′D′=a2．可得甲阴影部分的面积=32a2−π⋅(a2)2=32a2−πa24，乙的阴影部分的面积=a2−π⋅(a2)2=a2−πa24，可判断出③④．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，AC⊥BD，BO=12BD，
∵AB＝BD＝a，
∴BO=OD=12a，
∴AO=AD2−OD2=32a，
∴甲的株距为a，行距为32a，乙的行距为a，
∴甲的行距比乙的小，
故①②正确，
∵S菱形=2×12×BD×AO=12a⋅3a=32a2，S正方形A′B′C′D′=a2．
∵甲阴影部分的面积=32a2−π⋅(a2)2=32a2−πa24，
乙的阴影部分的面积=a2−π⋅(a2)2=a2−πa24，
∴作差可得：a2−πa24−(32a2−πa24)=a2−32a2，
故③错误，④正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，直接写出最终结果，共计16分。
11．（4分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝5，则a+b2025+(−cd)2025+m2的值为 24 ．
【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，a+b＝0，cd＝1，m＝±5，代入求值即可．
【解答】解：由条件可知a+b＝0，cd＝1，m＝±5，
∴a+b2025+(−cd)2025+m2
=02025+(−1)2025+(±5)2
＝0﹣1+25
＝24，
故答案为：24．
【点评】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
12．（4分）“羽翼绘传奇，斗志铸辉煌”——12月6日，2024年信鸽“国家赛”秋赛圆满落幕！某信鸽俱乐部打算从该俱乐部信鸽群中本次获得前四名的4只信鸽中随机选择2只参加地方竞赛，则选中的恰好是第一名信鸽和第二名信鸽的概率为 16 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中选中的恰好是第一名信鸽和第二名信鸽的有2种结果，
所以选中的恰好是第一名信鸽和第二名信鸽的概率为212=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）一个棱柱的三视图如图所示，若EF＝6cm，∠EFG＝45°．则AB的长为 32 cm．
【分析】根据三视图的对应情况可以得出，△EFG中FG上的高EQ即为AB的长，进而通过解直角三角形即可求出．
【解答】解：三视图的对应情况可以得出，△EFG中FG上的高EQ即为AB的长，
过点E作EQ⊥FG于点Q，
则EQ＝AB，
由题意可知：EF＝6cm，∠EFG＝45°，
∴AB=EQ=EF×sin45°=32cm，
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出EQ＝AB是解题的关键．
14．（4分）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 7 ．
【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求P点坐标，就可求出点P到杯口AB的距离．
【解答】解：建立如图所示坐标系，作PE⊥x轴于点E，
各点坐标为：A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）．
设y＝a（x+4）（x﹣4），
把点C坐标代入解析式得：﹣12＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），
解得a＝1，
∴y＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，
∵∠ABP＝45°，∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴EP＝EB，
设P（x，y），
∴BE＝4﹣x，EP＝﹣y，
∴﹣y＝4﹣x，
即﹣（x2﹣16）＝4﹣x，
解得x1＝4（舍去），x2＝﹣3，
∴y＝9﹣16＝﹣7，
∴PE＝﹣y＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式．
四、解答题：本题共8小题，每小题分值标注在题号后，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共计90分。
15．（10分）（1）计算：(12)0−16+(−2)2；
（2）先化简，再求值：(xx−2−1x−2)÷x2−xx2−4，其中x=2．
【分析】（1）根据零指数幂与有理数乘方法则计算，二次式化简，最后计算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x=2代入化简式计算即可．注意结果一定要化简．
【解答】解：（1）(12)0−16+(−2)2
＝1﹣4+4
＝1；
（2）原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)
=x+2x，
当x=2时，原式=2+22=2+1．
【点评】本题考查实数的混合运算，分式化简求值，二次根式化简．熟练掌握零指数幂，二次根式化简与分式混合运算法则是解题的关键．
16．（10分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 200 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 90 度；
（2）若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
（3）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率．
【分析】（1）由C项目人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以D项目人数所占比例即可；
（2）根据所给B项的百分比求得B项人数，总人数减去其余各项人数为A项人数，用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共调查的总人数＝30÷15%＝200（人）；项目D对应扇形的圆心角50200×360°＝90°，
故答案为：200，90；
（2）B项目人数为200×20%＝40（人），
则A项目的人数为：200﹣40﹣30﹣50＝80（人），
∵2000×80200=800（人），
∴该校最喜爱项目A的学生约有800人；
（3）列表得：
由列表可见，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中项目A和D的结果有2种，
∴P（恰好选中项目A和D）=212=16．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）已知菱形ABCD的对角线AC＝24，点E、F分别是菱形的边CD、BC的中点，连接EF，若EF＝5，求菱形的周长．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AB＝BC，即可证明结论；
（2）先求出BD＝2EF＝10，进而求出OA＝OD＝12，OB＝OD＝5，根据勾股定理求出AD，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，如图：
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴BD＝2EF＝10，
∵AC、BD是菱形的对角线，且AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝12，OB＝OD＝5．
在Rt△AOD中．
∵OA＝12，OD＝5．
∴AD=122+52=13，
∴菱形的周长为：4AD＝4×13＝52．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、三角形的中位线的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．（12分）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点．
（1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积．
（2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①将B（2，﹣6）代入y＝ kx可求得反比例函数的表达式为：y＝ −12x；进一步可得A（﹣3，4）；将A（﹣3，4）、B（2，﹣6）代入y＝ax+b即可求解；②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，可求得C（﹣1，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COB即可求解；
（2）设点P（p，0）（p＜0），分类讨论①PA＝PO，②AP＝AO，③OP＝OA，三种情况即可求解；
【解答】解：（1）①已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点，将点B的坐标代入y＝ kx得：
﹣6＝ k2，
解得：k＝﹣12；
∴反比例函数的表达式为y＝ −12x；
将点A的坐标代入y＝ −12x得：
n=−12−3=4，
∴A（﹣3，4）；
将点A，点B的坐标代入得：
4=−3a+b−6=2a+b，
解得：a=−2b=−2，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2
②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，如图：
由0＝﹣2x﹣2得x＝﹣1；
∴C（﹣1，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×4+12×1×6=5；
（2）在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；理由如下：
设点P（p，0）（p＜0），
①PA＝PO，则(p+3)2+42=−p，
解得：p=−256；
②AP＝AO，则(p+3)2+42=32+42，
解得：p＝﹣6或p＝0（不合题意，舍去）；
③OP＝OA，则−p=32+42，
解得：p＝﹣5；
综上所述，在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；点P的坐标为(−256，0)或（﹣6，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
19．（10分）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元．
（1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：200+20x＝500．”
请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
（2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．”
①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由；
②试分析指出采纳谁的意见更合适．
【分析】（1）根据已知的方程可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可求解；
（2）①根据题意列出方程（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860，整理得到x2﹣4x+3＝0，求解即可得出结论；
②从增加销售量可以减少库存，可得结论．
【解答】解：（1）嘉嘉的说法不正确，理由如下：
200+20x＝500，
解得：x＝15，
∴30﹣15＝15元，
∵15元＜16元，
∴亏本，
∴小宇的说法不正确．
（2）①两人的说法都正确，理由如下：
依题意得：（30﹣x﹣16）（200+20x）＝2860，
整理得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴降价1元或3元都能达到期望目标，
∴两人的说法都正确；
②由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取王经理的意见．
【点评】本题考查了一元一次方程中的销售问题，一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键．
20．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=asinA，c=bsinB．∴asinA=bsinB=c．
∵sin90°＝1，∴asinA=bsinB=csinC．
拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA=bsinB=csinC是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
【分析】拓展研究：仍然成立，理由：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，先根据正弦的定义可得sinB=CDBC=CDa，sin∠BAC=CDAC=CDb，从而可得asin∠BAC=bsinB，同样的方法可得bsinB=csin∠BCA，由此即可得；
解决问题：先根据三角形的内角和定理可得∠CBA＝45°，再根据拓展研究的结论求解即可得．
【解答】解：拓展探究：结论asinA=bsinB=csinC仍然成立．
理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB=AEAB=AEc，
在Rt△BCD中，sinB=CDBC=CDa，
在Rt△ACD中，sin∠BAC=CDAC=CDb，
∴CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴asinB＝bsin∠BAC，
∴asin∠BAC=bsinB，
同理可得：bsinB=csin∠BCA，
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA．
解决问题：在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵ABsinC=ACsin∠CBA，AC＝40m，
∴ABsin60°=40sin45°，
∴AB=40sin60°sin45°=206（m），
答：点A到点B的距离为206m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
21．（14分）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表：
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式．
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是ℎ=ℎ0−12gt2，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）．
任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）．
【分析】任务1：由表格数据知，对应的函数表达式为一次函数；
任务2：令ℎ=ℎ0−12gt2=0，则t=2ℎ0g，反弹时，y＝0.5x，则此时高度为12h0，同理可得：t=ℎ0g，即可求解；
任务3：y=12x，100×（12）6=2516＜2，故反弹的次数为6次，参考任务2，即可求解．
【解答】解：任务1：设下落的高度为x cm，反弹的高度为y cm，
设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（80，40）、（90，45）代入上式得：
40=80k+b45=90k+b，解得：k=0.5b=0，
故函数的表达式为：y＝0.5x；
任务2：令ℎ=ℎ0−12gt2=0，则t=2ℎ0g，
反弹时，y＝0.5x，则此时高度为12h0，
同理可得：t=ℎ0g，
则总时间为：t=2ℎ0g+ℎ0g；
任务3：100cm＝1m，
∵y=12x，100×（12）6=2516＜2，
故反弹的次数为6次，
由（2）知，开始的时间t=2ℎ0g=2×110=55，
第一次反弹t=ℎ0g=55×22，
则第n次反弹t=ℎ0g=55×（22）n，
第（n+1）次反弹t=ℎ0g=55×（22）n+1，
则从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间=55×（22）n+55×（22）n+1=25+1010（22）n．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次和二次函数的性质，理解题意，正确设定函数表达式是解题的关键．
22．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 （﹣3，4）或（3，4） ．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（−2n−1，n﹣1）或（2n−1，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y=12x2−12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（±2n−1，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±52−42=±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±n2−(n−1)2=±2n−1，
∴该点的坐标为（−2n−1，n﹣1）或（2n−1，n﹣1）．
∵（±2n−1）2＝2n﹣1，n﹣1=2n−1−12，
∴该点在二次函数y=12（x2﹣1）=12x2−12的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±2n−1，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，12m），
∴(±2n−1−0)2+(n−1−12m)2=12m，
∴m=n2n−1=(n−1+1)2n−1=(n−1)2+2(n−1)+1n−1=n﹣1+2+1n−1．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．
【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y=12x2−12的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代数式表示出m的值．试次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反弹高度/cm
40
45
50
56
60
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
D
B
B
B
C
1
2
3
4
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）

A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
试次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度/cm
80
90
100
110
120
反弹高度/cm
40
45
50
56
60