安徽省淮南市寿县四校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省淮南市寿县四校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口方向向上B. 当时，随的增大而增大
C. 抛物线的对称轴为直线D. 抛物线与轴交点坐标为
5. 如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A. 平分B.
C. D.
7. 已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（ ）
A. O到弦距离等于O到弦距离B.
C. D.
8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，，，绕点A逆时针旋转（）得到，与分别交于点D，E．设，的面积为y，则y与x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线解析式为，则该抛物线的顶点坐标为________．
12. 如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为______．
13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______．
14. 如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，．
（1）的值为________；
（2）的值为________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在单位长度为1个单位的8×11网格图中，与，是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为，
（1）将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出；
（2）作出与的位似中心P，写出P的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出时，x的取值范围： ．
18. “强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．
（1）求抛物线解析式（不必写出取值范围）；
（2）变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦?
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
20. 如图，和都是等腰三角形，A、B、C三点在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，连接交于点N，连接，求证：．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
22. 如图1，在和中，，，，，与相交于点F．
（1）求证：；
（2）当时，如图2．
①求的长；
②连接交于点G，求线段的长．
七、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为．
①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值；
②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值．
2024—2025期末九年级数学质量检测卷
试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．本题考查的知识点是中心对称图形的概念，解题关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形．故此选项符合题意；
故选D．
2. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键．
先根据反比例函数的图象经过点求出的值，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，
A、，
此点不在反比例函数的图象上，故A选项错误；
B、，
此点不在反比例函数的图象上，故B选项错误；
C、，
此点不在反比例函数的图象上，故C选项错误；
D、，
此点在反比例函数的图象上，故D选项正确；
故选：D．
3. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质得，将其代入计算，即得答案．
【详解】
，
．
故选：C．
4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口方向向上B. 当时，随的增大而增大
C. 抛物线的对称轴为直线D. 抛物线与轴交点坐标为
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据，可知该抛物线开口方向向上，即可判断选项A；根据抛物线解析式可知其对称轴为直线，再结合该抛物线开口方向向上，即可判断选项B、C；令，可有，即抛物线与轴交点坐标为，即可判断选项D．
【详解】解： A. 因为，所以该抛物线开口方向向上，本选项正确，不符合题意；
B. 因为该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线开口方向向上，当时，随的增大而增减小，本选项不正确，符合题意；
C. 抛物线的对称轴为直线，本选项正确，不符合题意；
D. 当时，可有，即抛物线与轴交点坐标为，本选项正确，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，直线AD、BC交于点O，，若，，，则值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答．
【详解】解：∵，，
∴
∵，，
∴．
故选A．
6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A. 平分B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
C选项无法判定和相似，故C符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
7. 已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（ ）
A. O到弦距离等于O到弦距离B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵大圆半径是小圆半径的2倍，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，故本选项说法正确，不符合题意；
D、在中，，
∵，
∴，故本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题．
【详解】解：作于点，
由图知，，，
，
，
即，解得，
，
的值为，
故选：B．
9. 如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解．
【详解】解：连接，如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
10. 如图，中，，，绕点A逆时针旋转（）得到，与分别交于点D，E．设，面积为y，则y与x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，易得，那么，可得到，进而可得，则，那么，即可判断出的长度，易得中边上的高，根据三角形的面积公式可得相应的函数解析式，得到用表示的代数式是解决本题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
边上的高，
，边上的高为，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线解析式为，则该抛物线的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题关键．
根据顶点式直接作答即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
12. 如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．如图．设.利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设.
∵C是弧中点，
，
在中，，
，
解得．
故答案为：4．
13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14. 如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，．
（1）的值为________；
（2）的值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求，
（2）根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，且面积是，
∴，
两个正方形面积分别是和，
两个正方形的边长分别是和，
设，，
则，
（2），
解得：，
，
，
故答案为：，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键．先写出特殊角的三角函数值，然后再进行实数的运算即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在单位长度为1个单位的8×11网格图中，与，是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为，
（1）将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出；
（2）作出与的位似中心P，写出P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移作图，位似图形：
（1）根据平移规则，画图即可；
（2）根据点的坐标确定坐标系，根据位似图形的性质，确定点的位置，进而得到点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，点即为所求，由图可知：；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．
（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出时，x的取值范围： ．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据在反比例函数图象上，可得k的值；
（2）由点A和点B的坐标直接根据图象可得答案；
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，不等式与函数的关系等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：由图象知，或时，，
∴故答案为：或．
18. “强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．
（1）求抛物线解析式（不必写出取值范围）；
（2）变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦?
【答案】（1）
（2）变阻器R消耗的电功率P最大为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据二次函数性质求最值即可．
【小问1详解】
解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为，
把，代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线解析式为
∵，
∴当时，P取最大值220，
∴变阻器R消耗的电功率P最大为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）点到地面的距离为；
（2）顶部线段的长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解．
【小问1详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为

，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
20. 如图，和都是等腰三角形，A、B、C三点在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，连接交于点N，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出，由相似三角形的性质推出．
（1）由等腰三角形的性质推出，即可证明；
（2）判定，推出，同理：，得到，因此，而，即可证明．
【小问1详解】
证明：，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）知，
，
，
，
同理：，
，，
，
，
，
．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解；
（2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解；
（3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
．
，
．
又，
，
，
．
【小问3详解】
解：由（2）得 ，,
.
，，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22. 如图1，在和中，，，，，与相交于点F．
（1）求证：；
（2）当时，如图2．
①求的长；
②连接交于点G，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键.
（1）先得到，证明，即可得到，再证明，得到，即可解题；
（2）①先得到四边形是矩形，即可证明，得到 根据勾股定理求出长解题即可
②由矩形的性质证明 ，得到，求出长解题即可．
【小问1详解】
证明： 如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， 且，
∴.
【小问2详解】
解：①由（1）得，
，
∴
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∴的长是
②∵四边形是矩形，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
∴线段的长是．
七、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为．
①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值；
②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值．
【答案】（1）
（2）①的最小值为；②t的值为或7
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设点，点，则，即可求解；
②进行分类讨论且分别逐个情况作图，结合平行四边形的性质以及二次函数的图象性质，列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：分别把点和点代入抛物线中，
得：，
解得：；
∴该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：①∵点B的坐标为，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，
∴点C的坐标为．
∵轴交抛物线于点D，轴交抛物线于点E，
∴点D的坐标为，点E的坐标为．
即，，
∴．
∵，即开口向上
∴当时，的值最小，最小值为．
②ⅰ）如图1，当时，点D和点E均在x轴的下方，
图1
∴，，
以点B，D，C，E为顶点的四边形面积：
化简得，
解得：，．
ⅱ）当时，点B和点D重合，不能构成四边形，故舍去；
ⅲ）如图2，当时，点D在x轴的上方，点E在x轴的下方，
图2
∴，，，
以点B，D，C，E为顶点的四边形面积：
解得：．
ⅳ）当时，点C和点E重合，不能构成四边形，故舍去；
ⅴ）如图3，当时，点D和点E均在x轴的上方，
图3
∴，，
以点B，D，C，E为顶点的四边形面积：
化简得，
∴
则
解得：（舍去），（舍去）．
综上所述：t的值为或7．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的图象性质，平行四边形的性质，解一元二次方程．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理
……
综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站的相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理
……