安徽省淮南市多校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份安徽省淮南市多校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
9. 已知为实数，且，则之间大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A. 7B. 7.5C. D. 14
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11. 方程的根是______．
12. 直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为__________．
13. 已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是_______．
14. 如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：

（1）已知，则______（用含的代数式表示）；
（2）若，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15. 如图，在的正方形网格纸，每个小正方形的边长为1个单位，将ΔABC向下平移4个单位，得到，再把绕点顺时针旋转，得到，请你画出和（不要求写画法）
16. 如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
17. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
18. 如图，在四边形中，，对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
19. 如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
20. 如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，且，求阴影部分的面积．
21. 石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
（1）若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
（2）已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
22.
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年九年级第一学期期末考试
数学学科试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
3. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：，
故选：A．
4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转到位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
故选：D．
6. 如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，四边形都是矩形，
∴，，，
∵
∴,
∵
∴
∴
即
解得：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
9. 已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
10. 如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A. 7B. 7.5C. D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取的中点E，连接，则，，当三点共线时，最大，即可求得最大值．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵，，，
∴，，
∴；
∵，
∴当三点共线时，最大，最大值为；
∵，
∴的最大值为7；
故选：A．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11. 方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选取适当的方法是解题的关键；利用因式分解法求解即可．
【详解】解：分解因式得：，
即，
解得：，．
12. 直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键．
先根据点Ax1,y1,Bx2,y2是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点Ax1,y1,Bx2,y2两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵点Ax1,y1,Bx2,y2是双曲线上的点，
，
∵直线与双曲线交于点Ax1,y1,Bx2,y2两点，
即两点关于原点对称．
，
，
故答案为：10．
13. 已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键．
根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴对称轴为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且，
∴根据对称性可得P点对称点，
∴或．
故答案为：或．
14. 如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：

（1）已知，则______（用含的代数式表示）；
（2）若，则的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，推出，即可得到答案；
（2）根据旋转的性质证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）点B的对应点恰好落在点O处，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（2）由旋转的性质可知，
，B，O，D，E四点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15. 如图，在的正方形网格纸，每个小正方形的边长为1个单位，将ΔABC向下平移4个单位，得到，再把绕点顺时针旋转，得到，请你画出和（不要求写画法）
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据平移和旋转的规律，分别确定对应顶点，依次连接即可．
【详解】解：如图即所求
【点睛】本题综合考查了图形的平移，旋转，根据不同的变换要求得到各关键点是解决本题的关键．
16. 如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
17. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
18. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】(1)证明即可．
(2)连接，证明等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可．
小问1详解】
∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴
∴．
【小问2详解】
连接，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴是等边三角形，
∴；
∵，，，
∴；
∴；
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
19. 如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键；
（1）根据圆周角定理得到，在证，根据圆周角定理得结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答；
【小问1详解】
平分，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
四边形的四个顶点都在上，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，．
设交于点E，
则
在中，
，即，
解得：
故
即的半径为6．
20. 如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，且，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由相切得，由平分，，得，即可得证；
（2）设的半径为；由平行四边形的性质及角平分线的性质得，从而得
，即，；在中，由勾股定理建立方程求得的值；由确定r的值，根据阴影面积为梯形面积减去扇形的面积即可求解．
【小问1详解】
证明：与相切，
．
平分，，
．
与相切．
【小问2详解】
解：设的半径为，则．
四边形是平行四边形，，，，
．
平分，
，
，
．
，，
，
，．
在中，，
，解得或3．
当时，；当时，．
，，
，
，
，
即，．
，，
，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，角平分线的性质定理，平行四边形的性质，勾股定理及不规则图形面积等知识，正确掌握这些知识是解题的关键．
21. 石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
（1）若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
（2）已知当地工商部门规定：芦柑售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
【答案】（1）75 （2）①当提价6元时，商店获得利润1152元；②当时，w取得最大，最大值为1200元
【解析】
【分析】（1）根据题意，“售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱”，求解即可；
（2）①根据题意，求得提价x（元）后的利润，列出方程求解即可；②求得利润w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：每箱销售价55元，销售量为（箱）
【小问2详解】
①由已知得，，
整理得：
解得，，，
∵售价每箱不得高于60元，
∴
经检验：符合题意
答：当提价6元时，商店获得利润1152元．
②，
∴当时，w有最大值，最大值为1200，且，符合题意
答：当时，w取得最大，最大值为1200元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和函数解析式．
22.
【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，，
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可；
任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可；
【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x，
由题意得：
，得：
小明：由题意得：
∵
，得．
∵
，得：
∵
．
任务二：由题意得：
设：，，
同理：
，得
∵
，得：
．
矩形的边长为：；．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，点的坐标为
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得．
【小问1详解】
解：∵，，点位于轴的正半轴，
∴，
将点代入得：，
解得，
则抛物线对应的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，B4,0，
∵，，
∴，
设点的坐标为，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为．
【小问3详解】
解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则，
∵轴，
，
，
∴，
当时，，
解得或，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②如图，在轴下方作，交轴于点，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
综上，存在点，使得，此时点的坐标为或．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1
图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．

素材2
小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．

素材3
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；
步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．

问题解决
任务1
请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2
请求出小富同学裁下的矩形各边长．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1
图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．

素材2
小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．

素材3
小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，
步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；
步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．

问题解决
任务1
请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2
请求出小富同学裁下的矩形各边长．