湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了答非选择题时，答案用0，认真阅读答题卡上的注意事项．等内容，欢迎下载使用。
亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1.本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟．
2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息．
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4.答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效．
5.认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既不轴对称图形也不是中心对称图形D. 既是轴对称图形又是中心对称图形
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 明天是晴天B. 地球自西向东自转
C. 篮球队员在罚球线投篮一次，投中D. 掷一枚硬币，正面朝上
3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径圆与坐标轴的位置关系( )
A. 与x轴相切B. 与x轴相离C. 与y轴相切D. 与y轴相交
5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
6. 为了促进经济发展，从年月日至年月日，国家对贷款市场报价利率（）进行了两次下调，年期以上从降到了，设年期以上平均每次下调的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为( )
A B. C. D.
8. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知点M是的内心，分别是点M关于的对称点，点B在的外接圆上，且点A在边上，若的外接圆半径为2，则长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点F是矩形内部一个动点，E为上一点且，当，，时，则的最小值为（ ）
A. 10B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
12. 某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：
由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为___________（结果保留小数点后两位）．
13. 用一个圆心角为的扇形做一个圆锥的侧面，此时圆锥的底面圆半径为3，则这个圆锥的母线长为___________．
14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则度数为___________．
15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号)
16. 如图，边长为的正方形的顶点、在半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为___________．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17. 关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
18. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数．
19. 一个不透明盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．
（1）若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________；
（2）将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由．
20. 如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接．
（1）证明：为圆O的切线；
（2）过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径．
21. 如图，是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆过格点，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）在图1中画圆心，并过点作圆的切线；
（2）在图2中作的角平分线，与圆交于点；
（3）在图2中，作弦，使．
22. 【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调．
【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表．
【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数近似刻画水量高度与频率关系如图．
任务1 当水量高度为时，计算频率值为___________．
任务2 若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少？(结果保留整数)(C调音符与频率对照表：低音，中音，高音，其他参考数据：)
【反思优化】同学们通过观察图1，发现第十一组数据与利用二次函数计算得出的频率值偏差较大．决定将其数据优化为，减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度对应的频率值进行次测量，得到个结果，再计算个结果与之差的平方和，记为；越小，偏差越小．
任务3 当偏差最小时，说明y与之间关系，并阐述理由．
23. （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边上，连接，点P为线段的中点，连接．以点P为对称中心，画出关于点P对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边中，D、E分别是边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形如图2，连接，点P为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值_________．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标；
（3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标．
2024－2025学年度第一学期期末质量检测
九年级数学试卷
亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1.本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟．
2.答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息．
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4.答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效．
5.认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标，它（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形D. 既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形
故选：D．
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 明天是晴天B. 地球自西向东自转
C. 篮球队员在罚球线投篮一次，投中D. 掷一枚硬币，正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意；
B、地球自西向东自转必然事件，本选项符合题意；
C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法步骤是解题的关键．利用配方法对一元二次方程进行变形即可．
【详解】解：由题知，
∴．
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系( )
A. 与x轴相切B. 与x轴相离C. 与y轴相切D. 与y轴相交
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握点到直线的距离与半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的关键．根据，可判断直线与圆的位置关系．
【详解】解：点到轴的距离为，
，
点为圆心，为半径的圆与轴相切，
故选：A．
5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握．利用根与系数关系求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故选：C．
6. 为了促进经济发展，从年月日至年月日，国家对贷款市场报价利率（）进行了两次下调，年期以上从降到了，设年期以上平均每次下调的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用经过两次下调后的年期以上下调前年期以上（年期以上平均每次下调的百分率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再把点向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点的坐标为．
【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到．
故选：D．
8. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法．三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3．
画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3，
所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率．
故选：C．
9. 如图，已知点M是内心，分别是点M关于的对称点，点B在的外接圆上，且点A在边上，若的外接圆半径为2，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的内心、外心、轴对称、特殊直角三角形等内容．连接，易得四边形是正方形，再证，即可得解．
【详解】解：如图，连接，设与交于点G，与交于点H，与交于点K，
∵的外接圆半径为2，且点B也在的外接圆上，
∴，
∵分别是点M关于的对称点，
∴，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、、、都是等腰直角三角形，
∴，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
10. 如图，点F是矩形内部一个动点，E为上一点且，当，，时，则的最小值为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，且，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，，
即，
∴的最小值为，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：
由上表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为___________（结果保留小数点后两位）．
【答案】0.80
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.80，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．
故答案为：0.80．
13. 用一个圆心角为的扇形做一个圆锥的侧面，此时圆锥的底面圆半径为3，则这个圆锥的母线长为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则，然后解方程即可．
【详解】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得，
解得：．
故答案为：6．
14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质得出，，，推出，即可推出结果．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号)
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④．
【详解】解：对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
时，，
，
，
，
，故②错误；
，，
，
，
直线与轴的交点为，
直线过，两点，
观察图象，若，则，故③正确；
由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
抛物线开口向下，
．故④正确；
故答案为：①③④．
16. 如图，边长为正方形的顶点、在半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点再一次落在圆上时，点运动的路径长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程．可得出经过三次点再次落在圆上，其中两次是在半径为，圆心角是度的弧上运动，一次是在半径为圆心角是度的弧上运动，根据弧长公式得出结果．
【详解】解：如图，
设圆心为，连接，，，
，
和是等边三角形，
，
，
，
点运动的路径长为
故答案：．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．
17. 关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根为．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据一元二次方程解的定义把代入方程即可求出；根据根与系数的关系可直接求出另一根．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
此时，符合题意
设方程另一根为
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
即方程的另一个根为．
18. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，再结合，可推出结果．
【详解】解：将绕点旋转到，
，
，
又，
，
，
∴．
19. 一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．
（1）若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________；
（2）将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由．
【答案】（1）
（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了概率公式和列表法与树状图法；游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两个球中有红球的结果数为7，再根据概率公式计算出小张胜的概率和小王胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平．
【小问1详解】
解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率为
故答案为：．
【小问2详解】
该游戏不公平．
理由如下：
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，所以小张胜的概率；，小王胜的概率为
∵
所以该游戏不公平．
20. 如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接．
（1）证明：为圆O的切线；
（2）过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论；
（2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵E为弦的中点，
∴，
∵垂直平分，点P在的延长线上，
∴，
∴，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
【小问2详解】
解：∵E为弦的中点，
∴于点E，
∵于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，解得：．
∴⊙O的半径长为．
21. 如图，是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆过格点，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）在图1中画圆心，并过点作圆的切线；
（2）在图2中作的角平分线，与圆交于点；
（3）在图2中，作弦，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆的对称性，圆的切线的判定等知识，解决问题的关键是利用一些特殊的格线．
（1）根据 的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点是圆心；根据边长矩形和的矩形的对角线垂直画图；
（2），根据正方形的对角线平分对角，画出图形；
（3）根据和的角平分线的对称性画出图形．
【小问1详解】
解：如图1，
①连接格点，及格点，，则交点是圆心，
②连接格点，则是的切线；
【小问2详解】
如图2，
连接格点，，交于点，则是的平分线；
【小问3详解】
①连接格点，，交于点，
②连接，则．
22. 【问题背景】洪山区某校开展综合与实践活动．同学们发现在相同玻璃水杯内加入不同高度的水量，用筷子敲击玻璃水杯会发出不同音调．
【实验操作】由于频率不同则音调不同，因此同学们用频率仪作测量实验，获得如下水量高度与频率数据对照表．
【建立模型】用x表示对应的水量高度，用y表示频率，同学们运用信息技术描出数据散点图并发现可用二次函数近似刻画水量高度与频率关系如图．
任务1 当水量高度为时，计算频率值为___________．
任务2 若要敲击出高音3，玻璃水杯水量高度为多少？(结果保留整数)(C调音符与频率对照表：低音，中音，高音，其他参考数据：)
【反思优化】同学们通过观察图1，发现第十一组数据与利用二次函数计算得出的频率值偏差较大．决定将其数据优化为，减少偏差．通过查阅资料后知道：可将水量高度对应的频率值进行次测量，得到个结果，再计算个结果与之差的平方和，记为；越小，偏差越小．
任务3 当偏差最小时，说明y与之间关系，并阐述理由．
【答案】任务；
任务．玻璃水杯水量高度约为；
任务．当偏差最小时，
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．用含的式子表示出是解决本题的关键．
任务．取，求得相应的的值即可；
任务．取，用公式法求得相应的的值即可；
任务．用含的式子表示出根据的开口方向，对称轴，求得当为多少时，偏差最小即可．
【详解】解：任务．
当时，．
故答案为：；
任务．
要敲击出高音，，
，
整理得，
，
，舍去
答：玻璃水杯水量高度约为；
任务．
抛物线的开口向上，对称轴为直线
当偏差最小时，
23. （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点E在边上，以为边作正方形，点F在边上，连接，点P为线段的中点，连接．以点P为对称中心，画出关于点P对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边中，D、E分别是边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形如图2，连接，点P为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值_________．
【答案】（1），；（2），；见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）延长至G，使，连接，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得，，得出，再证得，即可得出答案；
（2）作关于点P成中心对称的，连接、，延长交于点，则，，，进而可得，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质即可求得答案；
（3）过点A作于点H，连接，交于点L，利用三角形中位线定理可得，又点H是定点，得出点P在以H为圆心，为半径的圆上运动，可求得的最小值，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，延长至G，使，连接，
则与关于点P对称，即为所求作的图形．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点P为线段的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）结论：，；证明如下：
如图2，作关于点P成中心对称的，连接、，延长交于点，则，
则，，，
∴，
由题意可知：四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，；
（3）如图3，过点A作于点H，连接，交于点L，
由旋转得，，
∵四边形是菱形，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵是等边三角形，，，
∴同理可知：H是的中点，，
又∵点P为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点H是定点，
∴点P在以H为圆心，为半径的圆上运动，
设交于点，当点P与点重合时，
为最小值，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了点和圆的位置关系，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标；
（3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）；
（2）P点坐标为；
（3）直线恒过定点．
【解析】
【分析】（1）根据，坐标以及对称性可求对称轴；
（2）由对称轴得到，所以抛物线，再代入点A坐标，即可得，最后可得抛物线解析式为，再求出的解析式为，与抛物线联立可得．根据已知条件可转化为证明，求得．再由待定系数法可得直线的解析式，与抛物线解析式联立可解得P点坐标为；
（3）设，，利用待定系数法可得直线，和的解析式，求得，，根据可列式化简整理可得，进而可得①，把①式代入直线的解析式中，化简后可得：，令，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过，，
∴抛物线的对称轴方程为直线；
【小问2详解】
解：∵对称轴为直线，
∴，
∴抛物线，代入点，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点，
∴，
又∵，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
由待定系数法可知直线的解析式为，
联立与，
得，
解得或0（舍去），
即．
如图1所示，设交y轴于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故，
同理，由待定系数法可得直线的解析式为，
联立直线解析式与抛物线解析式可得，
解得或，
故P点坐标为；
【小问3详解】
证明：如图2所示，
设，，
故由待定系数法可得直线的解析式为．
∵，再由抛物线对称性可知，
同理可得直线的解析式为，
则，
同理可得直线的解析式为，
则，
∵，即，
化简整理可得，
进而可得①，
把①式代入直线的解析式中，得：
，
令，
解得，此时，
故直线恒过定点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数与方程的转化，函数恒过定点问题，难度较大，对运算变形能力要求高，熟练掌握以上内容是解题关键．
射击次数
10
50
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
6
43
79
156
326
803
“射中9环以上”的频率
0.60
0.86
0.79
0.78
0.815
0.803
水量高度
频率
射击次数
10
50
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200
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“射中9环以上”的次数
6
43
79
156
326
803
“射中9环以上”的频率
0.60
0.86
0.79
0.78
0.815
0.803
水量高度
频率