精品解析：江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（解析版），共20页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解对数不等式求集合，再由集合交运算求集合.
【详解】集合，又，
所以.
故选：B
2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角.
【详解】设，，
因为，，
所以，解得，
所以，，，则，
因为，则．
故选：B
3. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积.
【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面，
则，由，得，
所以该正四棱锥的体积为.
故选：A.
4. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解.
【详解】由，，成等差数列，得，则，
即，因此等比数列的公比，
所以.
故选：C
5. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ）
（参考数据：）
A. 6B. 12C. 16D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得，进而可得，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式求n即可.
【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得，
令经过天后蓝藻增长为原来的2倍，则，即，
可得天.
故选：B
6. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增.设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解.
【详解】定义在上的奇函数满足，
所以，的图象的对称轴是，
所以的周期是8，
所以，
因在上单调递增，
所以.
故选：D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，由此建立方程即可求解.
【详解】
因为与的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设，
又因为，所以，
注意到，
所以，即，
整理得，因为，
所以，解得.
故选：C.
8. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.
【详解】由题意，当时，，
因为函数，若在上有且只有个零点，
则，解得．
又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为，
而函数的最小正周期为，则，解得，
综上，的取值范围是.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为实数，则是实数B. 若为虚数，则是虚数
C. 若，则是实数D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AB，设，由复数概念以及乘法即可判断；对于CD，设，由复数概念以及乘法即可判断.
【详解】对于A，B，设，则，
若为实数，则，但这不一定能得到，比如，
这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误；
若为虚数，则，这一定能得到，也就是说这个时候是虚数，故B正确；
对于C，D，设，
若，这就表明，
所以是实数，故C正确；
若，
这表明，
但不一定等于0，
比如，这个时候有，
但，故D错误.
故选：BC.
10. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（ ）
A. B.
C. 与为互斥事件D. 与相互独立
【答案】AB
【解析】
【分析】应用列举法写出所有可能事件，应用古典概型的概率求法求，再根据条件概率公式、互斥事件的定义、独立事件的判定判断各项的正误即可.
【详解】由题设，抽取结果有红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄，共6种情况，
其中第一次抽到红球有红黄、红蓝，共2种，则，A对，
第二次抽到黄球有红黄、蓝黄，共2种，则，显然事件不互斥，C错，
且第一场抽到红球，第二次抽到黄球的概率，则，D错，
所以，B对.
故选：AB
11. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ）
A. 平面
B. 向量不共面
C. 平面与平面的夹角的正切值为
D. 平面截该正方体所得的截面面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对A选项，可以用向量法得到平面的法向量与共线；对B选项，可以利用坐标法，得到三个向量共平面；对于C选项，先求两个向量的法向量，两个法向量所在直线的夹角即为两个平面的夹角，然后求出所求的正切值即可；对于D选项，可做出截面计算面积.
【详解】如图以为坐标原点，，,为，和轴正向建立坐标系：
，，，，，，
对于选项A，可以设平面的一个法向量，根据线面垂直的判定可知，，可令得，，
可得与共线，即平面，选项A正确；
对B选项，，，，
可利用坐标计算得到，三个向量共面，B选项错误；
对C选项，可设平面的一个法向量为平面的一个法向量为，
由，得到，令，，
可设与得夹角为，则，
由题意两平面夹角为锐角，设两平面夹角为，则与互补，，，，选项C正确;
对选项D，如图做出截面：过在平面内做的平行线，交于点，
连接，过点做的平行线，交于点，根据平面平行的性质，
易证和为平面与立方体外表面的交线，连接，可得五边形即为所求截面.
，，，可求得，
，，
结合图可知截面五边形面积小于，选项D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知二项式，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出．
【详解】解：令得，①，
令得，②
①②得，．
故答案为：．
13. 已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点.若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，联立抛物线并应用韦达定理得，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.
【详解】由题意，联立，则，显然，
所以，故，
所以，以为直径的圆的圆心横坐标为3，半径为4，
故以为直径的圆被轴截得的弦长为.
故答案为：
14. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为______，m小于100的概率为______.
【答案】 ①. 47 ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最小值；分两步探讨，结合古典概率列式计算得解.
【详解】由中的对称性，不妨令，要最小，
百位必相邻，的百位为4，的百位为3；
对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1；
同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47；
要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：
取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，
而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为，
所以m小于100的概率为.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
（1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．
附：其中．
【答案】（1）有 （2）
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可.
（2）利用分层抽样求出抽取12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率.
【小问1详解】
由表格中的数据，得，
所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．
【小问2详解】
利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人，
老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，
则，
所以至少有人参加跳绳比赛的概率是.
16. 在中，已知.
（1）求；
（2）若为的平分线，面积为14，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解.
（2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与
三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解.
【小问1详解】
在中，，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
所以，
所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
由，所以，
所以.
记中角A、B、C所对的边为a、b、c，
由正弦定理可得，所以，
所以，
解得（负值舍去），所以.
又由，得，
所以由，得，
所以，解得.
17. 如图，在直三棱柱中，.
（1）证明：三棱柱是正三棱柱；
（2）证明：；
（3）设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过证明三角形全等得到，即可证明三棱柱为正三棱柱；
（2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直；
（3）根据垂直关系得到可以作为平面的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程，解方程得到，然后求外接球表面积即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，
又因为，
所以，
所以，
所以三棱柱为正三棱柱.
【小问2详解】
取的中点，连结，
则.
因为平面，
所以平面.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则
，
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
所以，
所以，即.
【小问3详解】
因为平面平面，
又因为，
所以不妨取平面的法向量.
因为直线与平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
因为，
所以点到平面的距离，
所以.
所以正三角形的外接圆半径，
所以正三棱柱的外接球的半径
，
所以三棱柱外接球的表面积为.
18. 已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个零点，求a的取值范围；
（3）若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据根的个数可得，再应用导数研究函数的单调性即可；
（2）令，求出函数的定义域，并证明为奇函数，由零点的个数及奇函数的对称性，将问题化为在上有且仅有一个零点，讨论、研究在上零点的个数，即可得参数范围；
（3）设，且，应用向量数量积的坐标表示求得，进而有，最后应用基本不等式求最小值.
【小问1详解】
由已知得，有三个根，令，得或，
所以有两个不同的解，所以，又，
令，得或，令，得，
所以当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
小问2详解】
令，得，令，
因为，所以为奇函数.
因为，所以0是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点.
在上单调递增，.
当，即时，，所以在上单调递增，
由，得在上无零点，不合题意，舍去.
当，即时，，
所以存在，使得.
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增.
当时，，且.
当时，，
令，解得，所以，
所以在上存在唯一的零点.
综上，.
【小问3详解】
设，且，
因为点异于，所以.
由，得，
即，解得，则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：第二问，判断的奇偶性，将问题化为在有且仅有一个零点为关键.
19. 已知椭圆的离心率为，且经过点.定义第次操作为：经过上点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）求的方程；
（2）若为左顶点，经过3次操作后停止，求的值；
（3）若是在第一象限与不重合的一点，证明：的面积为定值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）设，则直线的方程为，联立椭圆方程消去y，结合求得，根据题设定义，利用对称性有得到方程，即可求参数值；
（3）由（2）易得与关于原点对称，结合椭圆对称性有与关于原点对称，与重合，进而有是以4为周期的周期点列，得的面积等于的面积，再应用点线距离公式、三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
由题设有，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，则直线的方程为，与的方程联立，
消去得.
因为，所以.
因为是它的一根，所以，
即.（*）
若，经过3次操作后停止，即为.
将代入（*）式得，，
因为关于原点对称，，所以与关于原点对称，
因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称，
所以，解得，
综上，当时，.
【小问3详解】
当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称.
如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合，
所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积.
因为直线的方程为，
点到直线的距离，
所以.
【点睛】关键点点睛：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到、的面积等于的面积为关键.女
男
未参加跳绳比赛
参加跳绳比赛