新高考数学三轮冲刺解题技巧精讲精练专题14 指、对、幂形数的大小比较问题（2份，原卷版+解析版）

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指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
【核心考点目录】
核心考点一：直接利用单调性
核心考点二：引入媒介值
核心考点三：含变量问题
核心考点四：构造函数
核心考点五：数形结合
核心考点六：特殊值法、估算法
核心考点七：放缩法
核心考点八：不定方程
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，故.
故答案为：C.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
【核心考点】
核心考点一：直接利用单调性
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞b＞c
【答案】B
【解析】由题意，故，
由指数函数的单调性，单调递减，故，
由幂函数的单调性，在单调递增，故，
综上：.
故选：B
例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.
故选：B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
核心考点二：引入媒介值
【典型例题】
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，，，，
由于，， ，而
，，所以，所以．
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
，
所以
故选：A
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
，
所以．
故选：C．
例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
最大，
，，
，
故选：B
例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
而，且，
所以.
又，
所以，
故选：A.
例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝lg20.3，c＝20.6之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，
∵lg20.3＜lg21＝0，∴b＜0，
∵20.6＞20＝1，∴c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
核心考点三：含变量问题
【典型例题】
例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数，满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】均为正数，
因为，所以，设，
则，
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
即，所以，可得，
又得，综上，.
故选：D.
例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.
故选:C．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，，．
因为在上恒成立，所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，故.
故选：C．
例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
核心考点四：构造函数
【典型例题】
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
记.
因为，所以在上单调递减函数，所以当时，，即，所以.
所以.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
所以.
综上所述：.
故选：B
例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．
故选：D．
例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设，，，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，，当时，，即在上递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，，当时，，则在上单调递增，
则当时，，即，因此，即，
所以的大小关系正确的是.
故选：B
例20．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以在上递减，所以，即，
设，则，递增，
则，即，
所以，
令，则，，
当时，，则递减，又，
所以当时，，递减，
则，即，
因为，则，
所以，即，
故，
故选：D
例21．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系是___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：.
例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以只要比较的大小即可，
令，则，所以在 上递增，
所以，所以，
所以，即，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，
所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
故选：D
例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递增，在单调递减，
所以时，，所以，即，
所以，
又，对任意恒成立.
因此，
故选：.
例24．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①先比较 ：，，设函数，
则，得函数在单调递减，得函数在单调递增 所以 即；
②再比较：由①知，
而 ， 设，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，而，
所以，
故选：A
核心考点五：数形结合
【典型例题】
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：D
例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
可知在定义域内单调递增，且，
∴；
又∵，则，
由题意可得：，
令，则为的零点，
，
令，则或，
∴在，内单调递增，在内单调递减，
当时，，则在内无零点，
当时，，则，
综上所述：；
故.
故选：D.
核心考点六：特殊值法、估算法
【典型例题】
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.
故选：C
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由，，可知，
又由，从而，可得，
因为，所以；
因为，从而，即，
由对数函数单调性可知，，
综上所述，.
故选：B.
例31．（2023·全国·高三专题练习）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为， 所以取，则
，
，
，所以.
故选：C.
核心考点七：放缩法
【典型例题】
例32．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：，，，则、、大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，
所以函数在上递增，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
又，所以，
，
所以，
所以.
故选：B.
例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得：，，，即；
，，即；
由得：，
，，即；
综上所述：.
故选：D.
例35．（2022·全国·高三专题练习）己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接）
【答案】
【解析】由得
，
即，
，
又，
，
，
，
，
综上：．
故答案为：．
核心考点八：不定方程
【典型例题】
例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
解：设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以，又，
所以，
所以.
故选：C．
例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】要比较，，中的大小，
等价于比较，，中的大小，
∵，由定义域可知，
故，
∵在定义域上单调递减，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，则，
，
，由定义域可知：，
又∵，
∴，则，
，故，
∵，，
∴，
，
.
故选：A.
2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由解得，
构造函数，，显然，
故是减函数，结合，故时，，
故，，
再令，，，当时，，
故在单调递增，结合，
故，，
则，
，
所以，，，
故，
由，，都是正数，故．
故选：D．
3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，则，，.
选项A，，，，则，故A正确；
选项B，，，，
下面比较的大小关系，
因为，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正确；
选项C，，，，
因为，又，所以，即，故C正确；
选项D，，
因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：B.
4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程和的根分别为和，函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】方法一：由得，由得，
因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为，
同理：函数与的图象交点的横坐标为，
因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，
易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称，
即的中点一定落在，亦即点为与的交点，
联立，解得，即，
所以，
故，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
而，，，
则，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，故，
令，则，
令，得，所以在上单调递增，
所以，
则，故，
综上：.
故选：B.
方法二：前面部分同方法一得，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
而，，，
因为，当且仅当时取等号，所以，
当时，，所以，即，下面比较的大小关系，
设，，
所以，
故在上递增，，即有，亦即，综上：.
故选：B.
5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得：，
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递增，，
则当时，，即，；
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递减，，
故当时，，即，；
综上所述，.
故选：A.
6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可得，
所以，或，
∴(舍去)，或，即，故A错误；
又，故，
∴，对于函数，
则，函数单调递增，
∴，故D错误；
∵，，
∴，
令，则，
∴函数单调递增，
∴，即，
∴，即，故B正确；
∵，
∴函数单调递增，故函数单调递增，
∴，即，故C错误.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：
则，，，关于对称.
所以，，故B错误.
因为，，，所以，故A错误.
因为，，在上为增函数，
，，所以.
又因为点在直线上，且，所以.
，故C正确.
因为，所以，
设，，在为增函数.
所以，
即，，故D错误.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】①令，则，，
所以，在上，即递减，而，
所以，即，故，正确；
②令，则，
又，在上，则递增，
所以，在上，即，则递减，
所以，正确；
③，而递增，故，错误.
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，令，解得，
故当时，单调递减，故，即，
则.
令，则，
故当时，单调递增，时，单调递减，
则，即.
，故；
，故；
综上所述：.
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先比较，易知,故，即
又，故时，时
故， 而，故，有
故选：A
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
，所以；
由且，所以，所以，
令，，令，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，故，所以.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以；
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
综上，，
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解析：因为，所以；
又
构造，
则
因为， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，
设
则在R上递增，，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即，
应用排除法，
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
16．（2023·全国·高三专题练习）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0