新高考数学三轮冲刺解题技巧精讲精练专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（2份，原卷版+解析版）

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从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【核心考点】
核心考点一：函数单调性的综合应用
【典型例题】
例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023春·广西·高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1B．C．D．1
例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
核心考点三：已知奇函数+M
【典型例题】
例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．
例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（ ）
A．2B．3C．－2D．－3
例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
例14．（2021春·高一单元测试）设函数，则不等式的解集为（ ）
A．（0，2]B．
C．[2，＋∞）D．∪[2，＋∞）
例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（ ）
A．B．C．D．
例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（ ）
A．B．C．D．
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
【典型例题】
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则（ ）
A．B．0C．D．
例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（ ）
A．16B．20C．24D．28
例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（ ）
A．1B．-1C．0D．2
例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（ ）
A．1B．-1C．0D．2
核心考点七：类周期函数
【典型例题】
例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典型例题】
例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数对任意，都有成立．有以下结论：
①；②是上的偶函数；③若，则；
④当时，恒有，则函数在上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
例33．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【典型例题】
例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且恒成立，则不等式的解集为______．
例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知是定义域为R的奇函数，为奇函数，则__________．
例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，则a+b的值为______．
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，对于任意的，均有，当时，，则函数的所有零点之和为______；
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数，，若与图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的有（ ）个
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·青海海东·统考一模）已知函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在上是增函数
B．当时，在上是增函数
C．的单调性与有关
D．若不等式的解集是，则
3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在（0，ln 2）上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设，函数是定义在R上的奇函数，且，在单调递增，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数D．函数是以为周期的周期函数
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于对称B．
C．的最小正周期为4D．对任意都有
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知函数，则满足的x的取值范围是________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数存在导函数，且满足，则曲线在点处的切线方程可以是___________（写出一个即可）
16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则___________．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值为，极小值为，则______．
19．（2023·全国·高三专题练习）设的定义域为，且满足，若，则___________．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则____．