新高考数学二轮复习高分突破训练第1讲 指对幂比较大小（2份，原卷版+解析版）

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（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
类型一:引入媒介值
例1．（2021秋•五华区校级期中）已知，，设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，
，即，
，即，
，
，，
，
，
，
又，，，
，即，
，
故选：．
例2．（2020春•河南期末）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
，
则，，的大小关系为．
故选：．
例3．（2020•新课标Ⅲ）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
例4．（2020秋•卡若区校级期末）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
则，，的大小关系为．
故选：．
例5．（2021秋•武功县校级期中）已知，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
例6．（2019春•湖北期中）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
例7．（2021•湖北模拟）设，，，则，，的大小是
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
．
故选：．
例8．（2021•贵州模拟）设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
．
故选：．
例9．（2019秋•榆树市期末）设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解析】解：函数是上的增函数，，，即．
函数在上是增函数，且，，，
，．
综上可得，
故选：．
例10．（2021春•岳麓区校级期末）已知，，设，，，则，，的大小关系为 ．
【解析】解：，
，即，
，
，
同理可知，，即，
，
，
，
综上
故答案为：
类型二:直接利用指对幂单调性
例1．（2021•香坊区校级二模）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，
，
故选：．
例2．（2021•武汉模拟）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
幂函数在上单调递增，且，
，
即，
故选：．
例3．（2021春•郴州期末）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
，，
，
，
故选：．
例4．（2018秋•龙岗区期末）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：在为增函数，
，即，
为减函数，
，即，
，
故选：．
例5．设，，．则，，由大到小的顺序是 ．
【解析】解：因为，所以单调递减，所以，
而，所以
故答案为：
例6．（2017秋•海淀区校级期末）已知，，，则，，按从小到大的顺序排序为 ．
【解析】解：由是增函数，
得，
由是增函数，
得，
故，
故答案为：．
类型三:构造函数利用单调性比较大小
例1．（2021•乙卷）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，
令，，
令，则
，
，
，
在上单调递增，
（1），
，
，
同理令，
再令，则
，
，
，
在上单调递减，
（1），
，
，
．
故选：．
例2．（2021•广州一模）已知是自然对数的底数，设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：已知是自然对数的底数，，，，
设，
则，
当时，，函数在上是增函数，
当时，，函数在上是减函数，
（3），（2），而，
所以，
又因为，，为常用不等式，可得，
令，
，
当时，，函数在上是减函数，
故（2）（e），
则，即，
则，
故：
故选：．
例3．（2021•济南一模）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：设，，设，，
当时，，当时，，又（1），，
存在，当时，，，单调递增，
当，时，，，单调递减，
，，即，，
设，，
当时，，当时，，且（1），
在递增，在递减，
，即，，，
，
故选：．
例4．（2021•江苏二模）若，则
A．B．
C．D．
【解析】解：设，，令，，
，递增函数，
设，，
，当时，，，
在，上单调递减，
，，
（a）（b）（c），，
，，，
，，，
，
故选：．
例5．（2021•贵州模拟）若为自然对数的底数），则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
对于取自然对数有与，
比较与的大小，即比较与的大小，
又，，则，，
则，
令，则在上恒成立，
即在上单调递减，而，
故有（a）（b），
故，即，也即，
而，
故，
故选：．
例6．（2021•毕节市模拟）若，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
所以，
即，
所以，
令，，
因为为增函数，为增函数，
所以为增函数，
所以，即．
故选：．
例7．（2021•惠州模拟）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：构造函数，，由函数图像可知：
在时，，即，
，
又，
，
故选：．
例8．（2020•漳州三模）若，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：由，，，
所以，且；
又，
；
不妨设，
则有；
构造函数，，
所以，
令，解得；
所以时，，是单调增函数；
所以，即，
所以；
综上知，．
故选：．
例9．（2017秋•唐山期末）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：构造函数，
则，
当时，，
则在上为增函数，
（3），即，
，即，则；
设，则，
当时，，
在上为增函数，则（3），
即，则．
又．
．
故选：．
例10．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：先比较与2的大小，
因为，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比较与2 的大小，
易得，当时，由，得与矛盾，舍去，
故，则有，得，
令，，
令，则，
故，
故，
从而．
故选：．
例11．（2021•湖北模拟）已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：，
故，
，，
故，即，
，且，
，，
令，
则，
故，即，
故，
故选：．
例12．（2021春•张家港市期中）若且，且，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：令，则．
由得：．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故选：．
例13．（2021•武功县开学）若，，．则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
令，，
令，，
故当时，，
故在上单调递减，而，
故当时，，
故在上单调递减，
故，
即，即，
故，
故选：．
例14．（2021•凯里市校级三模）已知，，且满足，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
又，，
，
，．
故选：．
例15．（2021•渝水区校级模拟）已知，且，则，，的大小关系式为
A．B．C．D．
【解析】解：令，
则，
所以当时，，单调递减．①
因为，
所以，，，，且，
又，
所以，
由①得，
故选：．
例16．（2021•佛山二模）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
【解析】解：由已知，因为，
所以原式可变形为，
令，，
函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），
当时，，，，
当时，，，，
要比较与的大小，只需比较与的大小，
，
设，则，
故在上单调递减，
又（1），（2），
则存在使得，
所以当时，，
当，时，，
又因为（1），（1），（4），
所以当时，，当时，正负不确定，
故当，时，，所以（1），故，
当，时，正负不定，所以与的正负不定，
所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．
故选：．
例17．（2021•佛山模拟）若，，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解析】解：令，则，
令，，，
在上单调递增，
，则，
在上单调递增，
又当时，，故，即；
令，
在上单调递增，则，即，则，
，即；
综上，．
故选：．
例18．（2020秋•秀山县校级月考）若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【解析】解：设，则为增函数，
，
（a），
（a），，故正确；
（a），
当时，（a），
此时（a），有；
当时，（a），此时（a），有，
所以、、均错误．
故选：．
例19．（2021•顺德区模拟）已知，且，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：取，，，，
满足，且，故不一定成立，
取，，，，
满足，且，但，故不一定成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
，且，
（a），
当，，
，
当，此时，则，故选项正确，
先证明对任意的且，，
不妨设，即证，
令，即证，
设，，
故函数在上为增函数，当时，（1），
对任意的且，，
，
，
，
，故选项正确．
故选：．
例20．（2021•淄博二模）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：令，则．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
当时，取最大值，（e）．
的值域为，，
，当且仅当时，等号成立．
，故错；
，故对；
，故错；
：令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，
（3），即，
，，
，故错．
故选：．
例21．（2020秋•滕州市期中）下列不等式中正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：令，则，令，得，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以①（2），即，即，故正确；
②，即，所以可得，故错误；
③（4），即，即，所以，所以，故正确；
④（e），即，即，即，所以，故错误．
故选：．
例22．（2021春•建邺区校级月考）下列不等式中正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：对于，，故错误；
构造函数，可得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
对于，由，可得，即，
即，，即，得，故正确
对于，，
由，可得，故正确；
对于，由，可得，即，
则，，故正确．
故选：．
类型四:含变量指对幂
例1．（2021•郊区校级三模）已知，，且，则下列说法是正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：：当，时，，错误，
：设，则函数为上的增函数，
，，即，错误．
为上的减函数，，，即，正确，
：当，时，，错误．
故选：．
例2．（2021•青岛三模）已知，，，，则，，的大小关系正确的为
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，令、，则，，．
根据幂函数在上是增函数，可得；
根据指数函数在上是减函数，可得．
故选：．
例3．（2020春•焦作期末）当时，下列大小关系正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：当时，，，，
故，
故选：．
例4．（2019秋•浙江期中）若，，则正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，与的大小关系不确定，与的大小关系不确定．
因此只有正确．
故选：．
例5．已知，则
A．B．
C．D．
【解析】解：，
对于．由，可知：不正确；
对于．由，，，，即，可知正确；
对于．，，且，
令，，取．则，
，．因此不正确．
对于．由、与1的大小关系不确定，因此无法确定的大小关系．
故选：．
例6．（2021春•淇滨区校级月考）已知，，，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：，且，，，
，且，，，
．
故选：．
例7．（2020•云南模拟）已知，，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，．
又，
，，，
，可得．
．可得．
综上可得：．
故选：．
例8．（2017秋•越城区校级期中）设，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：，且，
可得，
，
，
，
，
，
由，
又，，
则，
，，
则，
又，，
则，
即有，
则，
即有，
故选：．
例9．（2019•济南一模）设，，为正数，若，则
A．B．C．D．
【解析】解：设，则：，，；
，，；
；
；
；
．
故选：．
例10．（2019•西湖区校级模拟）设，，均为正数，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，均为正数，令，则，，，
，．
又，，
故选：．
例11．（2020秋•和平区校级月考）若，且，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【解析】解：，且，
可取，．
则，，，
．
故选：．
例12．（2017秋•亳州期末）若，，，且，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【解析】解：令，，可验证错误；
令，，可验证错误；
令，可验证错误；
事实上，（两个等号不同时成立）
故选：．
例13．（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是
A．B．C．D．
【解析】解：如图，
，，的关系有下列三种情况：，，，由图象可看出，与不可能相等，错误，都正确．
故选：．
例14．（2019秋•烟台期末）若，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，则，，，与0的大小关系不确定．
只有正确．
故选：．
例15．（2021•山东模拟）已知，，，且，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【解析】解：由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，但，所以，故选项正确；
取，，，可排除选项，；
因为，且函数在上为增函数，所以成立，故选项正确．
故选：．
类型五:真数相同
例1．（2018•铁东区校级一模）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
例2．（2018秋•湖北期中）设，，则下列正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：函数在上是减函数，，
即，
在上是增函数，，
则；
由换底公式可得：，
即，因此．
故选：．
例3．（2018春•雨花区校级期末）设，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，
，
又，
．
故选：．
例4．（2020秋•湖南月考）已知，则，不可能满足的关系是
A．B．
C．D．
【解析】解：；
，；
，故正确；
，故正确；
；故正确；
设，则；
；
错误．
故选：．
例5．（2019•凉山州模拟）已知，则，不可能满足的关系是
A．B．
C．D．
【解析】解：，
，，
，，
，
，
，
则有，
，
，
，
，
，故错误
故选：．
例6．（2019•呼伦贝尔模拟）已知，则，不可能满足的关系是
A．B．
C．D．
【解析】解：，
，，
，，
，
（6），
，
则有，
，
，
，
，
，故错误
故选：．
例7．（2020•大观区校级模拟）若，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：令在时单调递增，
，
则，
故选：．
例8．（2020秋•玄武区校级期中）设，，则下列各式中，错误的是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，
，
，，
，
又，，
，且，
，
故选：．
类型六:两图像的交点
例1．设，，均为正数，且，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
，，，
，，，
．
故选：．
例2．（2020春•海安市校级月考）设，，均为正数，且，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
，，，
，，，
．
故选：．
例3．（2018秋•尤溪县期中）设，为正数，且，，．则
A．B．C．D．
【解析】解：由，为正数，且，，．
则，，．
．
故选：．
例4．（2017•长沙模拟）、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小顺序为
A．B．C．D．
【解析】解：由于：，，在定义域上是增函数，
对于，
由于：，（1），
所以：函数在，上有唯一的零点，即，；
对于，
由于：，，
所以：函数在上有唯一的零点，即；
对于，
由于：（1），（2），
可得：函数在上有唯一的零点，即；
则，
故选：．
例5．（2012春•城关区校级期末）已知三个函数，，的零点依次为，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】解：函数，，，可知函数的零点；
令得，；
函数，，（1），
函数的零点满足，
，，在定义域上是增函数，
函数的零点是唯一的，
则，
故选：．
例6．（2021•河东区一模）已知函数，，，它们的零点，，的大小顺序为
A．B．C．D．
【解析】解：函数，函数的零点，
，可得；即，
，可得，即，
所以，，的大小顺序为：，
故选：．
例7．（2020秋•襄阳期中）已知函数的零点分别为，，，则，，的大小顺序为
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，对于，，其零点为，则有，解可得，
对于，其零点为，则有，
对于，其零点为，则有，变形可得，
结合指数函数的性质可得，
则有，
故选：．
例8．（2009春•莱州市校级期末）设、、均为正数，且，则，，由大到小的排列是 ．
【解析】解：、、均为正数
同理
．故答案为：．