重庆市第八中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题（Word版附解析）

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满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2. 集合 的非空真子集个数为（ ）
A. 14 B. 15 C. 30 D. 31
3. 已知函数 ，则 的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知等比数列 的公比为 ，则“ ”是“ ， ， ”成等差数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 现有 五人站成一排，则 相邻且 不相邻的排法种数共有（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
6. 已知点 ，若点 满足 ，则点 到直线
的距离的最大值为（ ）
A 4 B. 5 C. 6 D. 7
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7. 已知函数 ，若存在 满足 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若 ， ，且 ，则（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 在 上 投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
D. 的最大值为 3
10. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方
式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为 4 的正方体中，
， ，过 三点可做一截面，类似地，
可做 8 个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，该几何体是一个半正多面体
B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为
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C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为
D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
11. 已知点 ，曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 上存在点 ，使得
B. 直线 与曲线 没有交点
C. 若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是
D. 点 是曲线 上在第三象限内的一点，过点 向直线 与直线 作垂线，垂足分别为 ，
则
三､填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若 的展开式中的常数项为 0，则 __________.
13. 已知三棱锥 如图所示， 两两垂直，且 ，点 分别是棱
的中点，点 是棱 上靠近点 的三等分点，则空间几何体 的体积为__________.
14. 已知 中内角 满足 ，若在边 上各
取一点 ，满足 ， ，则角 __________，三角形 的面积的
最大值是__________.
四､解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取 2 件产品
进行抽检，若抽检出现三等品或 2 件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生
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产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为 0.9，0.05 和 0.05，且各件产品的质量情况
互不影响.
（1）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（2）若质检员一天抽检 3 次，以 表示一天中需要调整设备的次数，求 的分布列和数学期望.
16. 如图，侧面 水平放置的正三棱台 ，侧棱长为 为棱 上
的动点.
（1）求证： 平面 ；
（2）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出点 ；若不存在，
请说明理由.
17. 已知数列 和 满足 .记数列 和
满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 前 项和为 ，求 .
18. 若定义域为 的函数 满足：① ；② 对任
意 且 恒成立，则称 具有性质 .
（1）证明：函数 具有性质 ；
（2）判断函数 是否具有性质 ，并说明理由；
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（3）记 ，若 具有性质 ，求实数 的值.
19. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在 上.按如下方式构造
点 ：过点 作斜率为 1 的直线与 的左支交于点 ，点 关于 轴的对称点为
，记点 的坐标为 为坐标原点.
（1）求 的面积；
（2）记 ，证明：数列 为等比数列；
（3） 分别为线段 中点，记 的面积分别为 .判断 是否为定
值，如果是定值，求 的值；如果不是，请说明理由.
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