四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解分式不等式 ，再利用交集定义即可求得.
【详解】由 可得： ，即 ，解得 或 ，
故 ,因 ，则 ．
故选：C
2. 已知复数 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算两复数模可得答案.
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【详解】虚数不能比较大小， ， ，故 ．
故选：B
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示可得 ，然后可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ．
故选：A
4. 设 为数列 前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易知数列前 和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.
【详解】当 时， ，∴ ，
当 时， ，则 ，
∴ ，即数列 是首项 ，公比 的等比数列，
即 ，
∴
故选：D.
5. 为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了 1000 户进行调
查，得到其月用水量的平均数为 9 吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（ ）
A. 一定为 9 吨 B. 高于 9 吨 C. 约为 9 吨 D. 低于 9 吨
【答案】C
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【解析】
【分析】由样本估计总体 相关知识即可求解.
【详解】推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为 9 吨.
故选：C.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式即可求解.
【详解】因为
，
所以 ，
即 .
故选：A.
7. 如图，一个三阶魔方由 27 个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了 45°之后，表面积增加了（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】结合图形可得新增了 16 个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其
直角边为 x，由 可得 x，即可得答案.
【详解】由题设分析 如下图，转动了 45°后，此时魔方相对原来多出了 16 个小三角形的面积，
显然小三角形为等腰直角三角形且周长为 3，设其直角边为 x，
则斜边为 ，则 ，解得 ．
由几何关系得 1 个小三角形的面积为 ，
所以增加的面积为 ．
故选：A
8. 已知函数 ，若关于 的方程 有 2 个不相等的实数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，转化为 与 的图象有 2 个交点，分 、 和 ，三种情
况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，关于 的方程 有 2 个不相等的实数解，
即 与 的图象有 2 个交点，如图所示，
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当 ，直线 与 的图象交于点 ，
又当 时， ，故直线 与 （ ）的图象无公共点，
故当 时， 与 的图象只有一个交点，不合题意；
当 ，直线 与曲线 （ ）相切时，
此时 与 的图象有 2 个交点，
设切点 ，则 ，又由 过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ；
当 时，若 ，则 ，由 ，可得 ，
所以当 时，直线 与 的图象相切，
由图得当 时，直线 与 的图象有 2 个交点．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：C．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的导函数为 ，若 的图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
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A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 在 处取得极小值 D. 在 处取得极大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.
【详解】当 时， 单调递增，
由图可知 时， ， 单调递增，故 A 正确；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，故 B 错误；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，故 C 正确；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l 且与 x 轴交于点 Q，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M
，N 两点，若 ，则（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根据题意写出直线 方程，再将直线的方程与抛物线 联立，消去 得到关于 的二次方
程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断.
【详解】对 C:抛物线 的焦点为 ， ，准线为 ，易知 ，则 ，C
正确；
对 D,设 , ， , ， ， 到准线的距离分别为 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，于是
． ，则
直线 的倾斜角为 或 ，斜率为 ，因为 ，故 ，D 错误；
对 AB: , ，
直线 的方程为 ，
将 ，代入方程 ，并化简得 ，
，
于是 ． ,故 AB 正确；
故选：ABC．
11. 已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
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A. 函数 的初相位为
B. 若函数 的最小正周期为 ，则
C. 若 ，则函数 的图象关于直线 对称
D. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据初相位的概念，可判断 A 的正误；根据最小正周期公式，可判断 B 的正误，根据 的对
称性，代入计算，即可判断 C、D 的正误，即可得答案.
【详解】对于 A，根据解析式，可得 的初相位为 ，故 A 正确；
对于 B：若 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C：若 ，则 ，
当 时， ， ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故 C 正确；
对于 D：若函数 的图象关于直线 对称，则 ，
解得 ，又 ，所以 的最小值为 1，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，且它们的离心率互
为倒数， 是 与 的一个公共点，则 的面积为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的 值，根据椭圆与双曲线定义可求出 的值，
根据三边关系即可求出面积.
【详解】由题可知， 的离心率为 2，则 的离心率为 ，则 .
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根据对称性，不妨设 在第一象限，则 ，解得 ，
则 ，所以 为直角三角形，
则 的面积为 .
故答案为：6.
13. 已知函数 ，若关于 的方程 恰有 5 个不同
的实数解，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法结合函数图象分析方程的根的情况即可.
【详解】作出函数 的大致图象，如图所示，
令 ，则 可化为 ，
则 或 ，
则关于 的方程 恰有 5 个不同的实数解
等价于 的图象与直线 的交点个数之和为 5 个，
由图可得函数 的图象与直线 的交点个数为 2，
所以 的图象与直线 的交点个数为 3 个，
即此时 ，解得 .
故答案为： .
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14. 某市政府决定派遣 8 名干部（5 男 3 女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求
每组至少 3 人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有_________种.（用数字作答）
【答案】180
【解析】
【分析】由派遣 8 名干部分成两个小组，每组至少 3 人，可得分组的方案有 3、5 和 4、4 两类，分别求得
两类分法的种数，再由分类计数原理，即可求解．
【详解】由题意，派遣 8 名干部分成两个小组，每组至少 3 人，可得分组的方案有 3、5 和 4、4 两类，第
一类有 种；第二类有 种，
由分类计数原理，可得共有 种不同的方案.
【点睛】本题主要考查了分类计数原理，及排列、组合的应用，其中解答中根据题意合理分组，分别求得
两组分法的种数，再由分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基
础题．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简得解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式计算得解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ， ，
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即 ．
因为 ，所以 ．
由于 ，所以 ．
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，
得 ，解得 或 （舍去）．
所以 ，
所以 的面积 ．
16. 已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分 和 两种情况，结合导数符号判断原函数的单调性；
（2）分析可知 在 上恒成立，令 ，利用导数求其最值，结合恒成
立问题分析求解.
【小问 1 详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上单调递增；
当 时，若 则， ；若 ，则 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减.
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综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
若 在 上单调递增，
可知 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
若 ，当 趋近于 ，可知 趋近于 ；
若 ，当 时， ；当 时， ；
可知 内单调递减，在 内单调递增，
则 的最小值为 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD 为等腰直角三角形，且
，F 为棱 PC 上的点（异于端点），平面 ADF 与棱 PB 交于点 E．
（1）求证： 平面 ABCD．
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（2）若 ，且平面 平面 ABCD，求异面直线 PB 与 DF 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由底面 ABCD 是正方形，可得 ，进而可得 平面 PBC．然后由线面平行性质
可得 ，即可完成证明；
（2）以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，然后由 ，结合题意可得 ， 对应坐标，即可得答案.
【小问 1 详解】
因为底面 ABCD 是正方形，所以 ，
因为 平面 PBC， 平面 PBC，所以 平面 PBC．
又因为 平面 ADFE，平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 平面 ABCD．
【小问 2 详解】
因为平面 平面 ABCD，平面 平面 ， ， 平面 PAD，
所以 平面 ABCD，又由四边形 ABCD 为正方形，得 ．
以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
，则 ， ， ， ．
由 可得 ，
又 ，则 ，即 ，
又由（1） ，则 ，得
则 ，因
所以 ，所以 ， ．
设异面直线 PB 与 DF 所成的角为 ，
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，
故异面直线 PB 与 DF 所成角的余弦值为 ．
18. 已知 、 是双曲线 的左、右焦点，直线 经过双曲线的左焦点 ，与双曲线左、右两支
分别相交于 、 两点.
（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位
置关系可得出关于实数 的不等式组，即可解得 的取值范围；
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，由平面向量的坐标运算可得出 ，
将直线 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出 的值，可得出 的值，然后利用三角形的面积
公式可求得 的面积.
【小问 1 详解】
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解：在双曲线 中， ， ，则 ，
该双曲线的左焦点为 ，若直线 的斜率不存在，则直线 与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
因为直线 与双曲线左、右两支分别相交于 、 两点，
所以， ，解得 ，
因此，直线 的斜率的取值范围是 .
【小问 2 详解】
解：因为 ， ，
由 可得 ，则 ，
当直线 与 轴重合时，则点 、 ， ， ，
此时， ，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
由（1）可得 ，则 或 ，
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由韦达定理可得 ，则 ，
，即 ，解得 ，则 ，
所以， .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数
列的一次“和扩充”，例如：数列 经过第一次“和扩充”后得到数列 ；第二次“和扩充”后得到数
列 ．设数列 经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求不等式 的解集；
（3）是否存在数列 ，使得数列 为等比数列？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列 ，从而计算出 ；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列 经过 次“和扩充”后得到的
数列的项数为 ，则经第 次“和扩充”后增加的项数为 ，得到 ，构造等比数列，
求出 ，从而得到不等式，求出解集；
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（3）得到 ，从而利用累加法求和得到 ，从而得到
结论.
【小问 1 详解】
，第一次“和扩充”后得到数列 ，
第二次“和扩充”后得到数列 ，
；
【小问 2 详解】
数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列 经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，
则经第 次“和扩充”后增加的项数为 ，
所以 ，所以 ，
其中数列 经过 1 次“和扩充”后，得到 ，故 ，
，
故 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，
所以 ，故 ，
则 ，即 ，
又 ，解得 ，
【小问 3 详解】
因为 ，
， ，
依次类推， ，
故
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，
若使 为等比数列，则 或 .
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公
式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合
等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
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