四川省广安友谊中学2022-2023学年高二理科数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

广安友谊中学2023年春季高2021级5月月考

理科数学试题

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】化简复数，根据复数的几何意义可得答案.

【详解】，

复数对应的点为位于第二象限.

故选：B

2. 抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程.

【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称，

∴抛物线C的方程为，

∴抛物线C的准线方程是.

故选：C.

3. 函数在区间上的平均变化率为（    ）

A. 6 B. 8 C. 11 D. 31

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均变化率的公式计算即可.

【详解】根据平均变化率的公式，可得函数在区间上的平均变化率为：

.

故选：A．

4. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，，则至少有一人命中目标的概率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意求出甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.

【详解】∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，

∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为.

故选：D.

5. 用反证法证明命题“设，若，则中至多有两个为0”．要做的假设是（    ）

A. 中至多有一个为0 B. 中至少有一个为0

C. 中至少有两个为0 D. 全为0

【答案】D

【解析】

【分析】写出命题结论的否定，即可判断选项.

【详解】否定结论“中至多有两个为0”，即假设 “全为0”.

故选：D

6. 已知实数分别是函数的极大值点与极小值点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数得出函数单调性，结合极值点的定义求解.

【详解】函数的定义域为，

，

令，得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，此函数的极大值点是，极小值点是1，即，

则.

故选：A.

7. 若的展开式中的系数为20，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.

【详解】，

的通项公式为，

令，得（舍），令，得，

依题意得，得.

故选：B

8. 下列说法正确的是（    ）

A. 已知一组数据的方差为10，则的方差为12

B. 已知变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是

C. 已知随机变量服从正态分布，若，则

D. 已知随机变量服从二项分布，若，则

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用均值和方差的关系式及正态分布的性质判断、、、的结论．

【详解】对于A：已知一组数据的方差为10，则的方差为，故A错误；

对于B：对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，故，解得，故B错误；

对于C：已知随机变量服从正态分布，若，则，故C正确；

对于：已知随机变量服从二项分布，所以，若，则，故D错误．

故选：C．

9. 5月18日下午广安友谊中学高三年级师生在高中部足球场举行“释放压力从容冲刺”的减压趣味活动．本次活动形式多样，内容丰富，共设置了开火车障碍跑游戏、旱地划龙舟接力、同心击鼓游戏、竞走毛毛虫、花式拋球、兵兵接力六个项目．同学们在活动中尽情释放临考压力，欢声笑语中也相互传递着对美好未来的无限祝福和期待．某班同学分成三个小组参加活动，要求每组至少参加一项且至多参加三项活动，每一项活动必有且只有一个小组参加，则不同的安排方法有（    ）

A. 540种 B. 450种 C. 360种 D. 90种

【答案】B

【解析】

【分析】根据分组分配问题求解即可得答案.

【详解】由于每组至少参加一项且至多参加三项活动，每一项活动必有且只有一个小组参加，

则将六个项目分成三组，分组方法有（种），

再分配给三个不同的小组有（种），则不同的安排方法（种）.

故选：B.

10. 动直线平分圆的周长，则的最小值（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，动直线过圆的圆心，则，代入所给式子并变形，利用基本不等式求解.

【详解】由题意，动直线过圆的圆心，

则，又，

则，

当且仅当且，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：D.

11. 已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】联立直线与双曲线方程，得和，根据三角形重心坐标公式列式，得到，结合，可求出离心率.

【详解】，设，

设斜率为的直线为，

联立，消去并整理得，

，，即，

设，，则，

，

因为的重心为点，所以，，

所以，，

所以，，

消去得，得，得，

得，得，得，

得，.

故选：A

12. 已知，试比较大小关系（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别构造函数和，利用导数判断函数的单调性，根据单调性比较大小.

【详解】令

则，令，则恒成立，即在上单调递增，

∵

即

令，则

令得，即在上单调递减，

因为，所以即即，

即，所以．

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ______．

【答案】4

【解析】

【分析】运用微积分基本定理直接求解即可.

【详解】.

故答案：4.

14. 设空间向量，，若，则＝______．

【答案】3

【解析】

【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.

【详解】，则显然，，解得，

则，，

故答案为：3.

15. 甲罐中有4个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、3个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．以表示由甲罐取出的球是红球的事件，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则______；

【答案】##0.625

【解析】

【分析】由条件概率的公式求解即可．

【详解】由题意，甲罐取出的球是红球的概率，

从甲罐取出的球是红球，再由乙罐取出的球是红球的概率，

所以．

故答案为：.

16. 如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：

①存在点，使得是等边三角形；

②三棱锥体积为定值；

③设直线与所成角为，则；

④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】②④

【解析】

【分析】利用等体积转化，求三棱锥的体积，判断②；建立空间直角坐标系，利用坐标表示，即可判断①；利用坐标表示异面直线所成角的余弦值，即可判断③；找到点的位置，即可判断④.

【详解】由题意，在长方体中，到平面的距离为1，F到边的距离为2，所以，故②正确；

建立空间直角坐标系，如图，

则，设，

，，，

则，，，

若是等边三角形无解，

故①错误；

又

若

若

∵

综上，所以③错误

当为中点，与重合时，如图，

此时，，

又，故，所以，

因为，所以，

所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形，

当与重合，与重合时，如图，

显然，

故三棱锥的四个面均为直角三角形，

综上可知，至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故④正确．

故答案为：②④

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数．

（1）求函数在区间上的最值；

（2）过点作曲线的切线，求切线方程．

【答案】（1），无最小值   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用导数判断单调性，根据单调性求出最值即可；

（2）讨论是否为切点，根据导数的几何意义可求出切线方程.

【小问1详解】

，令．

当在区间上变化时，变化如下表：

由上表知：，无最小值，

【小问2详解】

∵在曲线上，

若为切点，则切线的斜率，

∴切线方程为，

若不为切点，设切点为，

则切线的斜率，

又，

∴，

切点为且切线的斜率，

∴切线方程为.

综上述，切线方程为或.

18. 某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率，进行了如下试验：一是对该农作物的10000粒种子进行培育，发现有20粒种子未发芽；二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中，各试验田种植的种子数及未发芽数如下表：

（1）求关于的回归直线方程；

（2）在上述试验下，若以表示该农作物种子的培育有效率，其中为进行培育的10000粒种子的未发芽数，为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数，请估计该农作物种子的培育有效率（结果保留3位有效数字）．

参考公式；在回归方程中，，．

【答案】(1)；(2)0.832.

【解析】

【分析】(1)根据表中数据求出最小二乘法中相关量，再利用最小二乘法计算即得；

(2)利用(1)结论估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数，经公式计算即得.

【详解】(1)依题意，，，

，

，

于是得，，

所以关于的回归直线方程为；

(2)由(1)知，估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数约为：，

而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽，即，

所以该农作物种子的培育有效率为.

19. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且

（1）求证：平面；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．

条件①：；        条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据中位线性质可得进而可得；

（2）根据条件①②均可得，再建立空间直角坐标系求解即可.

【小问1详解】

因分别为中点，则为中位线，则．

又平面平面，则平面．

【小问2详解】

如图以为原点建立空间直角坐标系．

若选①，因，底面是边长为2的菱形，则，

若选②，因，底面是边长为2的菱形，则，为正三角形，则，

则．

所以．

又，则，得．

则．

设平面法向量为，则．

得，又，设直线与平面所成角为．

则．

20. 已知抛物线C：的焦点为，且点与圆上点的距离的最小值为．

（1）求的值；

（2）若点在圆上，过点做抛物线的两切线，其中是切点，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点到圆心的距离减去半径等于最小值列式求解即可；

（2）根据弦长公式求出弦长，点到直线的距离求出三角形的高，得三角形面积，然后求出最值即可.

【小问1详解】

由题可点的坐标为，

点到圆上的点的距离的最小值为，

解得．

【小问2详解】

由（1）知，抛物线的方程为，即，则．

设切点，则直线．

联立两方程可得点，

设直线，联立抛物线方程，消去可得：，

则，即，且，

从而可知，

∴，

又点到直线的距离，

∴    ①，

又点在圆上，所以，即，代入①，得，

又．所以当时，∴.

21. 某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为3∶2．

（1）求m，n的值（结果用分数表示）；

（2）完成以下表格，并根据表格数据判断能否有把握认为学生性别和是否有飞天宇航梦有关？

（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人．若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望．

附表：

．

【答案】（1）   

（2）填表见解析；有97.5%的把握认为学生性别和是否有飞天宇航梦有关   

（3）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，分别计算男生，女生中有飞天宇航梦与无飞天宇航梦的学生人数，即可求得；

（2）根据（1）中数据填表，计算并进行判断即可；

（3）根据题意，的可能取值为1，2，3，求出对应的概率，得到的分布列，并计算数学期望．

【小问1详解】

由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，

男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

所以；

【小问2详解】

根据（1）中数据填表，

∴，

所以有97.5%的把握认为学生性别和是否有飞天宇航梦有关；

【小问3详解】

根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则的可能取值为1，2，3．

，，，

故的分布列为

∴X的数学期望．

22. 已知函数．

（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）若有两个不同的极值点，且则存在，使得成立．求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）转化为恒成立，再利用导数求出最小值代入可求出结果；

（2）先推出，，再将不等式化为恒成立，根据右边构造函数，利用导数求出最大值即可得解.

【小问1详解】

的定义域为，

，

在定义域内单调递增当时，恒成立，

若恒成立，

若，设，

，

当时，，当时，，

在上为减函数，在上为增函数，

故．

综上.

【小问2详解】

，

因为存在两个极值点且，

则为方程的两个根，即为的两根，

因为，且．

所以且，，

因为，

则，

设，则；

令，则，

当时，，为减函数，

所以当时，，

∴当时，，即；

∴在单调递增，则，

∴.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，总有成立，故；

（3）若，使得成立，故；

（4）若，使得，故.