新高考数学二轮复习热点题型归纳与变式演练专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7657" PAGEREF _Tc7657 \h 1
\l "_Tc2621" 题型一：“在”型求切线 PAGEREF _Tc2621 \h 1
\l "_Tc18021" 题型二：“过”型求切线 PAGEREF _Tc18021 \h 3
\l "_Tc12468" 题型三：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc12468 \h 4
\l "_Tc28386" 题型四：判断切线条数 PAGEREF _Tc28386 \h 5
\l "_Tc28859" 题型五：公切线问题 PAGEREF _Tc28859 \h 5
\l "_Tc23282" 题型六：距离最小值 PAGEREF _Tc23282 \h 6
\l "_Tc7733" 题型七：等价转化为距离 PAGEREF _Tc7733 \h 7
\l "_Tc6948" PAGEREF _Tc6948 \h 9
题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
已知在点处的切线方程步骤：①求；
②
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（ ）
A．y＝9x＋21B．y＝－9x＋19C．y＝9x＋19D．y＝－9x＋21
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点作曲线的切线，则切线方程为
A．或B．或
C．或D．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.
【提分秘籍】
函数图象过点处的切线方程：①设切线坐标，②求出切线方程为，③代入求得，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为
A．B．
C．D．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线过点的切线方程是___________.
题型三：已知切线条数求参数
【典型例题】
例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
过点可做函数的一条（或两条或三条）切线问题步骤：
①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④则问题转化为关于的方程就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.
【变式演练】
1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过可做的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁·高二期末）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：判断切线条数
【典型例题】
例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数，过点作曲线的切线，则可作切线的最多条数是______．
【提分秘籍】
过点可做函数的几条切线问题步骤：
①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④解出即可判断切线为几条.
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型五：公切线问题
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数的值是___________．
【提分秘籍】
是和的公切线问题：
①设与相切的切点为则，求出切线方程
②设与相切的切点为则，求出切线方程
③联立两切线求解.
【变式演练】
1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（ ）
A．0B．1C．eD．
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
题型六：距离最小值
【典型例题】
例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．17
【提分秘籍】
本例中设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值转化为点到直线的距离
【变式演练】
1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数的图像上，点Q是在直线上，记，则（ ）
A．M有最小值B．当M取最小值时，点Q的横坐标是
C．M有最小值D．当M取最小值时，点Q的横坐标是
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点是函数图象上的点，点是直线上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型七：等价转化为距离
【典型例题】
例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
在本例中根据几何意义可知表示点和之间的距离的平方，根据点的轨迹方程，可将问题转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数可求得与平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知，，的最小值为（ ）
3．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
一、单选题
1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数的图像在处的切线过点，则（ ）
A．B．2C．3D．4
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
4．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A．B． C．D．
6．（2022·江苏南通·高三期中）已知直线与是曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．4D．无法确定
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（ ）
A．B．C．1D．－1
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（ ）
A．2B．C．D．
9．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．e
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，为曲线在点处的切线上的一个动点，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．4
二、多选题
13．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（ ）
A．－5B．－3C．－1D．1
三、填空题
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则___________．
16．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.