新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题（含解析）

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专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题
目录
1
题型一：“在”型求切线 1
题型二：“过”型求切线 5
题型三：已知切线条数求参数 9
题型四：判断切线条数 13
题型五：公切线问题 16
题型六：距离最小值 19
题型七：等价转化为距离 23
27



题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.曲线在点处的切线方程为（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程是：，即.
故选：C.
【提分秘籍】
已知在点处的切线方程步骤：①求；
②
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为(    )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】已知满足，∴为奇函数，
当时，，因此，
则x＞0时，，
曲线在点处的切线斜率，
又，
∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为，
整理得﹒
故选：C．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的图象经过坐标原点，
所以，所以，
所以
所以．
因为，所以．
所以所求切线方程为，
即．
故选：A.
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数，则曲线在点（3，－6）处的切线方程为（    ）
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
【答案】D
【详解】解：因为函数，所以，所以，
所以切线的斜率为.
所以曲线在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），
即y＝－9x＋21.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，则，而，于是有，即，
所以所求切线方程为：.
故选：A
题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点作曲线的切线，则切线方程为
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【详解】设切点为（m，m3-3m），的导数为，
可得切线斜率k＝3m2-3，
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入点可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），
解得m＝0或m＝3，
当m=0时，切线方程为，
当m=3时，切线方程为，
故选A．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.
【答案】0或或
【详解】设的坐标为，，
过点的切线方程为，
代入点的坐标有，
整理为，
解得或或，
故答案为：0或或.
【提分秘籍】
函数图象过点处的切线方程：①设切线坐标，②求出切线方程为，③代入求得，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
设切点为
则 ，
∴切线方程为 ，
∵切线过点，
∴−ex0＝ex0(e−x0)，
解得： ．
∴切线方程为 ，整理得：.
故选C.．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由，得，
设切点坐标为，则切线方程为，
把点代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切线斜率为．
故选：C．
4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线过点的切线方程是___________.
【答案】
【详解】由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
∴所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
∴，即.
设，则在上单调递增，且，
所以有唯一解，
则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故答案为：.
题型三：已知切线条数求参数
【典型例题】
例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围．
【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，
又切线过点切线斜率为，，即，
∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．
令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，
或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，
,即，解得，
故选：D.
例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点可作曲线三条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点，转化为方程有3个根，构造函数，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.
【详解】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故选：A
【提分秘籍】
过点可做函数的一条（或两条或三条）切线问题步骤：
①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④则问题转化为关于的方程就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.
【变式演练】
1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过可做的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设切点为，切线的斜率，
则切线方程为：，
把点代入可得，
化为：，则此方程有大于0的两个实数根．
则，即，则，
故选：A．
2．（2022·辽宁·高二期末）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设切点为，
则，
所以切线的斜率为，
又因为切线过点，
所以，即，
令，
则，令，得或，
当或时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极大小值，
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有3个解，
则，解得，
故选：D
题型四：判断切线条数
【典型例题】

例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数，过点作曲线的切线，则可作切线的最多条数是______．
【答案】3
【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，
设切点为（），
由，可得，
则切线的斜率，
∴，
解得或或，故切线有3条.
故答案为：3.
【提分秘籍】
过点可做函数的几条切线问题步骤：
①设切点，求斜率②求切线③将点代入切线方程中得④解出即可判断切线为几条.
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，

则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．

题型五：公切线问题
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.
【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，
又，，
所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，
解得，，
故.
故选：B.
例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数的值是___________．
【答案】
【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值.
【详解】设直线与曲线、分别相切于点、，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
对函数求导得，则，
曲线在点处的切线方程为，即，
所以，，化简可得.
故答案为：.

【提分秘籍】
是和的公切线问题：
①设与相切的切点为则，求出切线方程
②设与相切的切点为则，求出切线方程
③联立两切线求解.
【变式演练】
1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（    ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【详解】设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
【答案】或##或
【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.
设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.
故 由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.
则或
故或.
故答案为：或
题型六：距离最小值
【典型例题】

例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ）
A． B． C． D．17
【答案】A
【详解】设，，
令且当时，，；
当时，，
设与平行且与相切的直线与切于
．

则到直线的距离为，即，
故选：A．
【提分秘籍】

本例中设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值转化为点到直线的距离
【变式演练】
1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数的图像上，点Q是在直线上，记，则（    ）
A．M有最小值 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是
C．M有最小值 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是
【答案】D
【详解】将化为，
即直线l的斜率为，
因为，所以，
令，得，
∴当M最小时，点P的坐标为，
此时点P到直线的距离为，
所以M的最小值为；
过点P且垂直于的直线方程为，
联立，得，
即点Q的横坐标为.
故选D
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则 ，
又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，
由曲线，得，所以切点为，
可求得点到直线的距离最小值为
故，
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点是函数图象上的点，点是直线上的点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当与直线平行的直线与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.
，解得或（舍去），
又，所以切点到直线的距离即为的最小值，
即.
故选：A.
题型七：等价转化为距离
【典型例题】
例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】表示点和之间的距离的平方；
点的轨迹为，点的轨迹为，
的最小值即为上的点与上的点的距离的平方的最小值；
，令，解得：，又，
与平行的曲线的切线方程为且切点为，
上的点与上的点的最短距离为点到的距离，
即最短距离，则，的最小值为.
故选：B.

【提分秘籍】
在本例中根据几何意义可知表示点和之间的距离的平方，根据点的轨迹方程，可将问题转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数可求得与平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】因为实数a，b，c，d满足：，
所以，.
所以点在曲线上，点在上.
所以的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小.
设在点处的切线与平行，则有：
，解得：，即切点为.
此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值，
所以的最小值为.
故选：B
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知，，的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】可以转化为：是函数图象上的点，是函数上的点，.
当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.
令，解得或，（舍去），又，
所以切点到直线的距离即为的最小值.
所以，所以.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由已知可得，，
则的最小值即为曲线的点到直线的距离最小值的平方，
设，则，令，解得，
，
曲线与平行的切线相切于，
则所求距离的最小值为点到直线的距离的平方，即.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设,,
点在函数上，点在函数上，
表示曲线上点到直线的点距离.
由，可得，与直线平行的直线的斜率为，
令，得，所以切点的坐标为，
切点到直线的距离.
的最小值为.
故选：B
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（    ）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则，又，
的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：.
故选：B.

一、单选题
1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，所以，又，
所以切线方程为，即．
故选：A．
2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数的图像在处的切线过点，则（    ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，，，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程可得.
故选：B
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）
A．0 B． C．0或 D．或
【答案】D
【详解】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，
解得e或.
当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.
故选：D
4．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以切线方程为，即，
所以，解得；
故选：B
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
∴，
∴，∴，
∴，∴．
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴实数a的最大值为，
故选：A．
6．（2022·江苏南通·高三期中）已知直线与是曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C．4 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由已知得，曲线的切线过，
时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，
切线：，又切线过
，∴，，
同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，
切线：，又切线过
，，∴，
故选：A
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（    ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【详解】设，则，
曲线与切线相切于，
则切线方程为：①
因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，
联立①②：x2＋mx＋1=，
所以，
所以，
所以，
则有，解得，
故选：A
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，
如图，

设，则，即，解得或-3（舍去），
故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，
所以，则，则.故A，B，D错误.
故选：C.
9．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】记得,记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，
即化简得，
故选：C
10．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知直线与曲线，分别交于点，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【详解】解：设与直线垂直，且与相切的直线为，
设与直线垂直，且与相切的直线为，
所以，，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
设直线与的切点为，
因为，所以，解得，，即，
此时，
所以，当直线与直线重合时，最小，最小值为.
故选：B
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，为曲线在点处的切线上的一个动点，为圆上的一个动点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
圆的圆心坐标为，故圆心到直线的距离为，所以的最小值为.
故选：D
12．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方.
∵，∴，由，可得，此时.
∴曲线在处的切线方程为，即：.
直线与直线的距离为，
∴的最小值为.
故选：C.
二、多选题
13．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（    ）
A．－5 B．－3 C．－1 D．1
【答案】AC
【详解】由已知得，则切线斜率，切线方程为，
直线过点，则，化简得，
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或.
故选：AC.
三、填空题
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
【答案】
【详解】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是.
故答案为：.

15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则___________．
【答案】0
【详解】解：由切点，，则在点处的切线方程为，
即，
由切点，，则在点处的切线方程为，
即，
由题知：两条直线是同一条直线，
则：，
化简得：．
∴ ．
故答案为：0．
16．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】##0.5
【详解】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，
所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为.
故答案为：.