（上海专用）新高考数学二轮满分训练第07讲 三角函数图像与性质（2份，原卷版+解析版）

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【考点梳理】
三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
【解题方法和技巧】
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cs t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
5.由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
【考点剖析】
【考点1】正切函数
一、单选题
1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
5．（2022·上海·高三专题练习）函数的最小正周期为___________.
6．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
【考点2】三角函数图像与性质
一、单选题
1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·上海·模拟预测）函数在上的零点个数记为，若，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称D．奇函数，且图象关于点对称
4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数为奇函数，、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数（a为常数），则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数不为奇函数B．函数存在反函数
C．函数具有周期性D．函数的值域为
8．（2022·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2021·上海崇明·一模）设函数的零点为，若成等比数列，则_______.
10．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
11．（2022·上海·高三专题练习）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.
12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是_____
13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知，，，，，，，位坐标原点，图像上的点都在折线OABCDEO所围成的区域（包括边界）内，则的最小值为___________.
14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为______．
15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______
16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________．
三、解答题
17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数，函数与函数的图象关于原点对称.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间.
18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量，函数．
(1)写出函数f（x）的单调递减区间；
(2)设，求函数与图象的所有交点坐标．
20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【考点3】三角函数综合应用
一、填空题
1．（2022·上海闵行·二模）若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；
2．（2020·上海·高三专题练习）方程的解集是_________．
3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________．
二、解答题
4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；
（2）若当时，函数的反函数为，求的值
5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数，.
（1）把的解析式改写为(，)的形式；
（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
（3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值.
6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数．
⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值；
⑵当时，求的单调递增区间和值域．
7．（2020·上海·高三专题练习）已知 ，求证： .
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．xB．xC．xD．x
5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
二、多选题
6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位
三、填空题
7．（2022·上海金山·二模）设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
8．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.
9．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点､，E､F为圆上两个动点，且，则的最大值为___________.
10．（2021·上海奉贤·一模）函数是奇函数，则实数__________.
11．（2021·上海徐汇·一模）设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______．
12．（2021·上海浦东新·二模）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________.
四、解答题
13．（2022·上海宝山·二模）某地区的一种特色水果上市时间个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:①②③(以上三式中均为非零常数，.)
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?
(2)若求出所选函数的解析式(注：函数的定义域是，其中表示月份，表示月份，，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
14．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和递增区间；
(2)已知等差数列满足，公差，求数列的前项和.
15．（2022·上海·模拟预测）已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
16．（2017·上海·高考真题）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ