（上海专用）新高考数学二轮满分训练第11讲 平面向量（2份，原卷版+解析版）

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【考点梳理】
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
平面向量的数量积及其应用
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq \(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
eq \(OA,\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|csθ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
③夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【解题方法和技巧】
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(EF,\s\up6(→))；
(3)对于平面上的任一点O，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，满足eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【考点剖析】
【考点1】平面向量的实际背景及基本概念
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·上海·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
3．（2022·上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
5．（2022·上海·高三专题练习）已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，csy)，x，y∈，则x+y=____________.
6．（2022·上海·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，则______．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
8．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
【考点2】平面向量的线性运算
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________
3．（2022·上海·高三开学考试）设四边形为平行四边形，，，．若点满足，则_________
4．（2022·上海·高三专题练习）已知向量，满足，，若存在单位向量，使得，则的最小值为_________.
5．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
6．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，，则___________.
7．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.
8．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
9．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点、、，点P在△ABC三边围成的区域（含边界）内，若，则动点所构成的图形的面积为___________．
10．（2022·上海·高三专题练习）已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线.
11．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
12．（2022·上海·高三专题练习）设向量满足，，若，，则的最小值为_______ .
13．（2021·上海市金山中学高三阶段练习）设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论：
①、、三点共线；
②直线的方向向量可以为；
③函数在上“可在标准1下线性近似”；
④“函数在上“可在标准下线性近似”，则．
其中所有正确结论的序号为 ___．
14．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知且，则的最小值为_________.
15．（2021·上海市金山中学高三期中）＝（﹣1，x）与＝（﹣x，2）平行且方向相同，则x＝_________．
16．（2022·上海宝山·二模）已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为__．
三、解答题
17．（2022·上海·高三专题练习）平面上有个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意个向量的和都与剩下的一个向量平行，求证：这个向量的和是零向量．
18．（2022·上海·高三专题练习）已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
19．（2022·上海·高三专题练习）点为平面上一点，有如下三个结论：
①若，则点为的______；
②若，则点为的______；
③若，则点为的______.
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
（2）请你证明结论②.
【考点3】平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土绕制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮，地板砖品种非常多，图案也多种多样，如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______
4．（2022·上海·高三专题练习）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.
5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为.
其中所有正确的结论的序号是___________.
6．（2022·上海·高三专题练习）设A、B、C是图像上不同的三点,且若A(1,-1),B(1,1),则的值为_______.
7．（2022·上海·高三专题练习）在直角三角形ABC中，，，，E为三角形ABC内一点，且，若，则的最大值等于___________.
8．（2021·上海市奉贤中学高三开学考试）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.
9．（2022·上海·高三专题练习）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______
10．（2022·上海·高三专题练习）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是_________．
11．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量，已知数列满足：对任意的正整数，点均在上，若，则的值为____
三、解答题
12．（2022·上海·高三专题练习）在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求点的轨迹方程.
【考点4】平面向量的数量积
一、单选题
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在中，，．若，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若平面单位向量，，…，满足对任意的，都有，则正整数n的最大值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
3．（2022·上海静安·模拟预测）若向量满足，，，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
4．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题
命题 当变化时，的最大值为；
命题：当变化时，不存在最小值；
则下列选项中，正确的是（ ）
A．为真命题，为假命题B．为假命题，为真命题
C．、都为真命题D．、都为假命题
二、填空题
5．（2022·上海·高三专题练习）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
6．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则___________.
7．（2022·上海普陀·二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
8．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知，,且、的夹角为，则______．
9．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．
10．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
11．（2022·上海·高三专题练习）已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________.
12．（2022·上海市莘庄中学高三期中）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_____．
13．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
14．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）已知平面向量，，且，实数的值为 _____．
15．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）向量，向量，若两向量夹角为钝角，则x的取值范围为______．
16．（2022·上海·高三专题练习）若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________
三、解答题
17．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.
(1)若到和到直线的距离相等，求的值；
(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；
(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.
【考点5】平面向量的应用
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）顶点为，，，则为（ ）．
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．（2022·上海·高三专题练习）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围________
5．（2022·上海市建平中学高三期中）已知平面上的两个向量、满足，，若，且，则的最大值为_______________.
6．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．
7．（2022·上海·高三专题练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
8．（2022·上海·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
三、解答题
9．（2022·上海·高三专题练习）已知，，，，，，边上一点，这里异于．由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点，，．设，如图所示.
（1）求的值；
（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确并说明理由；
（3）用和表示．
【考点6】平面向量新定义
一、填空题
1．（2020·上海·高三专题练习）设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.
二、解答题
2．（2021·上海交大附中高三期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
3．（2022·上海·高三专题练习）平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.
（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；
（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（ ）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
2．（2022·上海静安·模拟预测）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1B．2C．4D．8
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A．0个B．2个C．有限个，但多于2个D．无限多个
5．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成，的形式，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·上海市实验学校模拟预测）在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知边长为1的正三角形的边上有（）个点，使得（，）.则 __________ .
8．（2022·上海黄浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为____________．
9．（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则_________.
10．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量满足，记向量在、方向上的投影分别为x、y，在方向上的投影为z，则的最小值为_________．
11．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
13．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则_____________．
14．（2022·上海·模拟预测）已知向量，，若，则________.
15．（2022·上海·模拟预测）已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且则的取值范围是__________
16．（2022·上海市实验学校模拟预测）向量在向量 方向上的投影为________.
17．（2022·上海市实验学校模拟预测）在平面四边形中，已知，，，，则的值为________
三、解答题
18．（2022·上海静安·二模）设函数.
(1)若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；
(2)设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.
19．（2022·上海·模拟预测）已知､为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于､的动点，且满足（，），设直线､､､的斜率分别为､､､.
（1）求证：点､､三点共线；
（2）当，时，若点､都在第一象限，且直线的斜率为，求的面积；
（3）若､分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.
20．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
21．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
名称
定义
备注
向量
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
如a，eq \(AB,\s\up6(→))
零向量
长度等于零的向量；其方向不确定
记作0
单位向量
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
a0＝eq \f(a,|a|)
共线(平
行)向量
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行
向量a与b
平行记作
a∥b
相等向量
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量
如eq \(AB,\s\up6(→))＝a
相反向量
与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量
记作－a
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb