（上海专用）新高考数学二轮满分训练第02讲 不等式（2份，原卷版+解析版）

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【考点梳理】
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)0(0(0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
【考点剖析】
【考点1】不等式的性质
题型一：不等式 性质
一、单选题
1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．
三、解答题
3．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等.
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.
【考点2】一元二次不等式
题型二：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
2．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．18C．21D．26
二、填空题
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合，则___________．
4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式的解集为___________.
三、解答题
5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）
6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
7．（2022·上海·高三专题练习）设为实数，函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.
题型三：一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立
2．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
二、填空题
3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数满足，集合，则A的长度的取值范围是__________．（集合的长度定义为，其中）
4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
5．（2022·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
三、解答题
6．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；
若，，且为纯虚数，求的值．
7．（2022·上海·高三专题练习）对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．
【考点3】均值不等式及其应用
题型四： 均值不等式及其应用
1．（2020·上海高三专题练习）在中，、、分别为边、、所对的角，若、、成等差数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知，，若，则（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
3．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B． C． D．
二、填空题
4．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.
5．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足，则的最小值为________．
6．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.
7．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．
8．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是_____.
9．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集 ， 集合 ， 则 _____.
10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数、满足条件，则的最大值为__________．
11．（2022·上海·模拟预测）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．
12．（2022·上海·模拟预测）某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为_________元．
三、解答题
13．（2022·上海闵行·二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.
(1)当为边的中点时，求线段的长度；
(2)求的面积的最小值.
14．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
15．（2022·上海松江·二模）如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记．
(1)当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）
16．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)