新高考数学一轮专项（三角函数）训练专题七 三角恒等变换应用篇(解答题)（2份，原卷版+解析版）

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三角函数图象与性质的综合问题
典例 (12分)已知函数f(x)＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
思维点拨 (1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的x换成x－eq \f(π,6)，得g(x)，然后利用整体思想求最值．
规范解答
解 (1)f(x)＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)＝eq \r(3)cs x＋sin x[3分]
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，[5分]
于是T＝eq \f(2π,1)＝2π．[6分]
(2)由已知得g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，[8分]
∵x∈[0，π]，∴x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，[10分]
∴g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈[－1,2]．[11分]
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1．[12分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcs x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x·\f(a,\r(a2＋b2))＋cs x·\f(b,\r(a2＋b2))))；
第三步：(求性质)利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (12分)(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan x·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
思想方法指导 (1)讨论形如y＝asin ωx＋bcs ωx型函数的性质，一律化成y＝eq \r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)型的函数．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
规范解答
解 (1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))．
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．[5分]
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．[6分]
(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，所以2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))，[8分]
由y＝sin x的图象可知，当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,2)))，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))时，f(x)单调递减；
当2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))时，f(x)单调递增．[10分]
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减．[12分]
【例题选讲】
[例1] (2018·浙江)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))．
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求csβ的值．
解 (1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得sin α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5)．
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得cs α＝－eq \f(3,5)，由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13)．
由β＝(α＋β)－α得cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65)．
[例2] 已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
解 (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(1,2)(sin 4x＋cs 4x)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)．令2kπ＋eq \f(π,2)≤4x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,16)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,16)，k∈Z．
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16)))，k∈Z．
(2)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝1．又α∈(0，π)，∴－eq \f(π,4)