新高考数学二轮复习解答题强化训练（3）（2份，原卷版+解析版）

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（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）①，
当时，②，
①-②得，
整理得，，
，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）得，
，
，即
.
2.学校为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表：
（1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由；
（2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”.已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望.
参考公式：，.
【答案】（1）有把握，理由见解析 （2）分布列见解析，次
【解析】（1）提出假设：性别与作品合格与否无关.
，
当成立时，，
所以有99%的把握认为性别与作品是否合格有关.
（2）X的所有可能值分别为0，1，2，3.
，
，
，
.
故X的概率分布为
，
所以参赛者在3轮挑战中成功的次数X的数学期望为次
3.在中，内角、、所对的边分别是、、，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
因为、，且，所以，且，
所以，，
所以，，
则，即，
因为且，所以，且，
所以或（舍），故当时，．
（2），
因为，所以，则，
所以，.
所以的取值范围为．
4.如图，四棱锥中，已知，且与平面所成的角为.
（1）证明：；
（2）若点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）
如图所示，过点作面交
面于点，连，延长交于点.
因为与底面所成的角为；
所以，所以，.
因为，则；
因为，所以，且
又，所以平面，
所以.
又是等边三角形，则；
则，且，所以四边形为平行四边形，故；
所以.
（2）
因为两两垂直，则以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则
即
设平面的一个法向量设，
则，即，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为
5.已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点.
（1）求证：三点共线；
（2）过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点.
（ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）点在定直线上；（ⅱ）的最小值为16.
【解析】（1）由题可知，设，
又，由得，
所以，即，
所以直线的斜率为，
设，由可得，
所以直线的斜率为，
又，即，所以，得
所以，，
即，则三点共线.
（2）（ⅰ）点在定直线上，理由如下：
直线的斜率为，所以直线的方程为
即
过点的切线斜率为，所以直线的方程为
即，
交于点，解得
因此，点在定直线上.
（ⅱ）由（1）知直线的斜率为，方程为，
即，
联立抛物线方程整理得，
所以，
所以
又因为，所以点到的距离等于点到直线的距离，
而到直线的距离为
所以
而，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为16.
6.已知函数（其中是自然对数底数）.
（1）求的最小值；
（2）若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】（1）函数定义域为，
所以在上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增，.
所以.
（2）设切点为，则，
在处的切线为，
由于切线过点，所以，
而由（1），在上单调递增，不同的值对应的切线斜率不同
设，所以过点可作曲线的两条切线当且仅当关于的方程有两个实根.
，
①当时，在上单调递减，至多有一个实根，不合题意；
②当时，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
而时，时，，
所以当且仅当时，有两个实根，
即当且仅当时，过点可作曲线的两条切线.
只需证时，.
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，即.（*）
设，只需证.
1）当时，由，
.
设，则
，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减.
而，
所以，则.
2）当时，，
设，则，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，.
综上得：原不等式成立
不合格
合格
合计
男生
120
100
220
女生
30
50
80
合计
150
150
300
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P