2024-2025学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={x∈Z|1⩽xy”的一个充分不必要条件可以是( )
A. x−y>1B. x−y>0C. xy>1D. |x|>|y|
3.有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是( )
A. 11B. 13C. 22D. 33
4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(x+1)b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
7.已知命题p：∃x∈R，ax2+2ax+3>0为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. R B. {a|a≥0} C. {a|a3} D. {a|a>3}
8.在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者A，B，C，D被随机分配到四个物资发放点(站点1−4)，每人原属站点分别为A→1，B→2，C→3，D→4.规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是( )
A. 14B. 13C. 38D. 29
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A. EF=13AB
B. AF=13AD+23AC
C. BE=CB−CE
D. AD+DC=AB+BC
10.设函数f(x)=csx− 3sinx，则下列结论正确的是( )
A. −2π是f(x)的一个周期B. f(x)的图象关于直线x=π6对称
C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在区间(π2,π)上单调递减
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)= x+x，则下列说法中正确的有( )
A. 4是f(x)的一个周期B. f(x)的图象关于直线x=2对称
C. i=12025f(i)=2D. 方程f(x)=ln|x|恰有8不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且P(A+B)=0.7，P(A)=0.3，则P(C)=______．
13.已知函数f(x)=x2+2x−3,x⩽0,−2+lnx,x>0,若g(x)=f(x)−k只有一个零点，则k的取值范围是______．
14.已知A，B，C，D四点都在体积为5003π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且BC=3，∠BAC=150°，则三棱锥A−BCD体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，有余弦定理：
a2=b2+c2−2bccsA，
b2=a2+c2−2accsB，
c2=a2+b2−2abcsC．
(1)在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
(2)若A=π6，b= 3，asinA=5 3sinB−2sinC，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱.某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数(满分100分)，从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数(成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布)分成五段：[50,60)，[60,70)，⋯，[90,100]，得到如下所示的频数分布表．
(1)求频数分布表中a和b的值，并估计样本成绩的平均数；
(2)经计算，样本中分数在区间[50,60)内的平均数为56，方差为7；在区间[60,70)内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
17.(本小题15分)
如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面ACD⊥平面BCDE；
(2)若AB=5，BC=2，圆柱的母线长为2 3，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=cs(4x+π6)+cs(4x−π6)+sin4x+a的最大值为1．
(1)求常数a的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)设x1，x2为函数f(x)的两个相异零点，求|x1−x2|的最小值．
19.(本小题17分)
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一个向量，记a=(z1,z2)，称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=(z1,z2),b=(z3,z4),z1,z2,z3,z4，λ∈C，我们有如下运算法则：①a+b=(z1+z3,z2+z4)，a−b=(z1−z3,z2−z4)；②λa=(λz1,λz2)；③a⋅b=z1z3−+z2z4−；④|a|= a⋅a．
(1)设a=(1,2−i),b=(1+i,1−2i)，求a⋅b和|a+b|；
(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c，判断上述结论是否正确，并说明理由；
(3)设a=(3+3i,3)，集合Ω={p|p=(z1,z2),z2=z1+3,z1,z2∈C},b∈Ω，求|a−b|的最小值，并证明当|a−b|取最小值时，对于任意的c∈Ω,(a−b)⋅(b−c)=0．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.A
8.B
9.ABD
10.AC
11.ACD
12.0.6
13.(−∞,−4)
14.6(2− 3)
15.(1)证明：设AB=c，AC=b，BC=a，
所以a2=(b−c)2=b2+c2−2b⋅c=|b|2+|c|2−2|b||c|csA，
=b2+c2−2bccsA，
即a2=b2+c2−2bccsA．
同理可得b2=a2+c2−2accsB，c2=a2+b2−2abcsC．
(2)由asinA=5 3sinB−2sinC，
由正弦定理得a2=5 3b−2c，
因为b= 3，A=π6，
所以a2=15−2c，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=3+c2−3c=15−2c，
所以c=4，
所以S△ABC=12bcsinA=12×4× 3× 32= 3．
16.(1)由10+a+30+30+10=100，
解得a=20，则b=0.2，
55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76，
综上所述平均数的估计值为76；
(2)由表可知，[50,60)内的频数为10，[60,70)内的频数为20，
故两组成绩的总平均数z−=1010+20×56+2010+20×65=62，
两组成绩的总方差s2=1010+20[7+(56−62)2]+2010+20[4+(65−62)2]=23．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17.(1)证明：因为AB是底面圆的一条直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以AC⊥BC，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ABC，
因为AC⊂底面ABC，所以CD⊥AC，
因为CD⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，且CD∩BC=C，
所以AC⊥平面BCDE，
又因为AC⊂平面ACD，
所以平面ACD⊥平面BCDE．
(2)如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM．
因为底面ABC//底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角．
因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径，
所以EM为上底面圆的直径，
因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME，
因为DE⊂平面DME，所以AM⊥DE．
又因为EM为上底面圆的直径，所以MD⊥DE，
因为AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，
所以DE⊥平面AMD，
因为AD⊂平面AMD，所以DE⊥AD，又因为平面ADE∩平面DME=DE，
所以∠MDA为平面ADE与平面DME的夹角，
又因为D在底面ABC的射影为C，所以DE=BC=2，ME=AB=5，
所以DM= ME2−DE2= 21，又因为母线长为2 3，所以AM=2 3，
又因为AM⊥平面DME，DM⊂平面DME，
所以AM⊥MD，
所以AD= AM2+DM2= 33，
所以cs∠MDA=DMAD= 7711，
即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为 7711．
18.(1)由题意得f(x)=2cs4xcsπ6+sin4x+a= 3cs4x+sin4x+a=2sin(4x+π3)+a．
根据f(x)的最大值为2+a=1，解得a=−1．
(2)由(1)知f(x)=2sin(4x+π3)−1，令π2+2kπ≤4x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，
解得π24+kπ2≤x≤7π24+kπ2,k∈Z，可知f(x)的单调递减区间为[π24+kπ2,7π24+kπ2](k∈Z)．
(3)令f(x)=2sin(4x+π3)−1=0，得sin(4x+π3)=12，
因为x1，x2为f(x)的两个相异零点，所以sin(4x1+π3)=12,sin(4x2+π3)=12，
可能有如下两种情况：
①4x1+π3=π6+2k1π,k1∈Z,4x2+π3=5π6+2k2π,k2∈Z，
|4x1+π3−(4x2+π3)|=4|x1−x2|=|π6+2k1π−(5π6+2k2π)|=|4π6+2(k2−k1)π|≥4π6，解得|x1−x2|≥π6；
②4x1+π3=π6+2k1π,4x2+π3=π6+2k2π,k1,k2∈Z，且k1≠k2，
或4x1+π3=5π6+2k1π,4x2+π3=5π6+2k2π,k1,k2∈Z，且k1≠k2，此时|x1−x2|≥T=π2．
综上所述，|x1−x2|≥π6，即|x1−x2|的最小值为π6．
19.(1)由a=(1,2−i),b=(1+i,1−2i)，
得a+b=(2+i,3−3i)，
a⋅b=1×(1−i)+(2−i)(1+2i)=1−i+2−i+4i−2i2=5+2i．
|a+b|= (2+i)(2−i)+(3−3i)(3+3i)= 23．
(2)设a=(z1,z2),b=(z3,z4),c=(z5,z6),z1,z2,z3,z4,z5,z6∈C，
b+c=(z3+z5,z4+z6),a⋅b=z1z3−+z2z4−,a⋅c=z1z5−+z2z6−，
a⋅(b+c)=z1z3+z5−+z2z4+z6−，
因为z3+z5−=z3−+z5−,z4+z6−=z4−+z6−，
所以a⋅(b+c)=z1(z3−+z5−)+z2(z4−+z6−)=z1z3−+z2z4−+z1z5−+z2z6−=a⋅b+a⋅c，因此正确．
(3)证明：不妨令b=(m+ni,m+3+ni)，则a−b=(3−m+(3−n)i,−m−ni)，
则|a−b|= [3−m+(3−n)i][3−m−(3−n)i]+(−m−ni)(−m+ni)
= 2(m−32)2+2(n−32)2+9，
当m=n=32时，|a−b|取得最小值3，
此时a−b=(32+32i,−32−32i),b=(32+32i,92+32i)，
设满足条件的c=(z4,z4+3),z4∈C，
则b−c=(32+32i−z4,32+32i−z4)，
(a−b)⋅(b−c)=(32+32i)(32−32i)−z−4(32+32i)+(−32−32i)(32−32i)+z−4(32+32i)=94+94−94−94=0．
样本分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
10
a
30
30
10
频率
0.1
b
0.3
0.3
0.1