2024-2025学年广东省揭阳市揭东区第二中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市揭东区第二中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x|0≤x≤3，B=x|x≥2，则A∪B=( )
A. x|x≥2B. x|1≤x≤3C. x|x≥0D. x|x≤3
2.已知z=−1−i，则|z|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45∘、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A. 2+ 2B. 1+ 2C. 4+2 2D. 8+4 2
4.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α/\!/β，则a与b( )
A. 共面B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
5.已知a→,b→是不共线的向量，且AB⃗=a→+2b→,BC⃗=−5a→+6b→,CD⃗=7a→−2b→，则( )
A. A,B,C三点共线B. B,C,D三点共线C. A,B,D三点共线D. A,C,D三点共线
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
7.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6％，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过( )(参考数据：ln1.06≈0.0583,ln1200≈7.0901)
A. 122天B. 124天C. 130天D. 136天
8.已知正四棱锥P−ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为( )
A. 9πB. 36πC. 4πD. 4π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=3+4i，则( )
A. z的共轭复数是3−4i B. z2对应的点在第二象限
C. zi的虚部为−3i D. 若复数z0满足z0−z=1，则z0的最大值是6
10.如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A. AB+AD=ACB. AB+CD+DO=OA
C. AB+AD+CD=ADD. AC+BA+DA=0
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是A1D,BD1的中点，则( )
A. 四点A，M，N，C共面
B. MN/\!/CD
C. A1D/\!/平面BCD1
D. 若MN=1，则正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积为12π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k)，且a//b，则k的值为 ．
13.若函数y=ax−1−2(a>0，且a≠1)的图像恒过点P，则点P为 ．
14.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15∘，∠BDC=135∘，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB= m．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=4，b=3，a⋅b=6．
(1)求a与b的夹角；
(2)求3a−4b．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 3asinB+bcsA=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 7，b= 3，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点．
(1)求证：CE//平面BDF；
(2)求三棱锥E−BDF的体积．
18.(本小题17分)
已知向量a=csx, 3，b=1,sinx，函数f(x)=a⋅b+1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若g(x)=f2x−π3，x∈−π3,π4时，求函数g(x)的最值．
19.(本小题17分)
已知定义域为R的函数f(x)=−2+3x⋅a3x+1是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性并证明；
(3)若对任意t∈R，不等式ft2−2t+f2t2−k>0恒成立，求k的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.15
13.(1,−1)
14.20 6
15.【详解】(1)csa,b=a⋅bab=64×3=12，且a.b∈0,π，
所以a.b=π3，所以a与b的夹角为π3；
(2)3a−4b= 9a2+16b2−24a⋅b= 144+144−24×6=12．

16.【详解】(1)由正弦定理得 3sinAsinB+sinBcsA=0．
因为B∈(0,π)，所以，sinB≠0，tanA=− 33．
因为在▵ABC中，A∈(0,π)，所以，A=5π6．
(2)由a= 7，b= 3及余弦定理a2=b2+c2−2bccsA．
得c2+3c−4=0，解得c=1或c=−4(舍)
所以，S▵ABC=12bcsinA=12× 3×1×12= 34．

17.【详解】(1)
如图，连接AC交BD于点O，再连接OF，
在▵ACE中，O为AC中点，F为AE的中，所以OF//CE，
且CE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE//平面BDF．
(2)因为该几何体为正方体，所以点D到平面ABB1A1的距离等于AD，
所以点D到平面BEF的距离等于AD，
根据等体积法可知VE−BDF=VD−BEF=13×S▵BEF×AD=13×12×EF×AB×AD=13．

18.【详解】(1)f(x)=a⋅b+1=csx+ 3sinx+1=2sinx+π6+1．
由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
可得2kπ−2π3≤x≤π3+2kπ，k∈Z，
∴单调递增区间为：−2π3+2kπ,π3+2kπk∈Z．
(2)若g(x)=f2x−π3=2sin2x−π6+1．
当x∈−π3,π4时，−5π6≤2x−π6≤π3，
即−1≤sin2x−π6≤ 32，则−1≤g(x)≤ 3+1，
所以函数g(x)的最大值、最小值分别为： 3+1，−1．
【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．

19.【详解】(1)f(x)=−2+3x⋅a3x+1∵是R上的奇函数，
∴f(−x)+f(x)=0，即−2+3−x⋅a3−x+1−2+3x⋅a3x+1=0⇒3−x⋅a3−x+1+3x⋅a3x+1=4，
解之得a=4；
(2)由(1)知，f(x)=−2+4⋅3x3x+1，
设任意的x1，x2，满足x10，
∴f(x1)−f(x2)=4⋅3x13x1+1−4⋅3x23x2+1=43x1−3x23x1+13x2+1 −f(2t2−k)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2−2t)> −f(2t2−k)=f(−2t2+k)，
由(2)知，f(x)在R上是增函数，
∴t2−2t> −2t2+k，即3t2−2t−k>0恒成立，
∴Δ=4+12k